求通解：y''-6y'+9y=(x+1)e^3x
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特征方程 r^2-6r+9=0 特征根 r1,r2 =3
对应齐次方程通解 y~ = ( C1 + C2 x) e^(3x)
设特解形如 y * = x² (Ax+B) e^(3x),
y* ' = (3A x² + Bx + 3A x³ + 3B x²) e^(3x),
y* '' = [ 9(A x³ + B x²) + 6(2B x + 3A x²) + 2B + 6A x ] e^(3x)
代入原方程 => A= 1/6, B=1/2
=> 通解 y = ( C1 + C2 x) e^(3x) + x² (x/6 + 1/2) e^(3x)
对应齐次方程通解 y~ = ( C1 + C2 x) e^(3x)
设特解形如 y * = x² (Ax+B) e^(3x),
y* ' = (3A x² + Bx + 3A x³ + 3B x²) e^(3x),
y* '' = [ 9(A x³ + B x²) + 6(2B x + 3A x²) + 2B + 6A x ] e^(3x)
代入原方程 => A= 1/6, B=1/2
=> 通解 y = ( C1 + C2 x) e^(3x) + x² (x/6 + 1/2) e^(3x)
更多追问追答
追问
y* ' = (3A x² + Bx + 3A x³ + 3B x²) e^(3x), 这里面应该是2Bx吧？
追答
y * = x² (Ax+B) e^(3x) = (A x³ + B x²) e^(3x),
y* ' = (A x³ + B x²) ' * e^(3x) + (A x³ + B x²) * [ e^(3x)] ' 两个函数乘积求导
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