Question

已知函数f(x)=ax+b/x+c(a＞0)的图像在点(1,f(1))

已知函数f(x)=ax+b/x+c(a>0) 已知函数f(x)=ax+b/x+c(a>0)的图像在点（1，f(1))的切线方程为y=x-1
(1)用a表示出b,c
(2)若f(x)>=lnx在[1,正无穷)上恒成立，求a的取值范围
(3）证明：1+1/2+1/3+…+1/n>ln(x+1)+n/2(n+1) (n>=1)

Answer 1

（1）切线斜率为1，所以x=1时，函数的一阶导数=a-b/x^2=a-b=1,b=a-1；
x=1，由切线方程得y=0，代入原函数，a+b+c=0，c=1-2a。
（2）设g（x）=f（x）-lnx，求导，导数为0时，取极值大于0，求出a的取值范围。
（3）不等式没看明白。

Answer 2

(1)
f'(x) = a - b/x²
f(1) = a + b + c
f'(1) = a - b
切线斜率 = 1, a - b = 1, b = a - 1
切线上, x = 1, y = 0, f(1) = a + b + c = 0, c = -a - b = -a -a + 1 = 1 - 2a
(2)
g(x) = f(x) - lnx
= ax + (a-1)/x + 1 - 2a - lnx
g'(x) = a - (a-1)/x² - 1/x = (ax² - x -a + 1)/x²
= (x -1)[ax - (1 -a)] = 0
x = 1或x = (1-a)/a
a >0, h(x) =(ax² - x -a + 1)为开口向上的抛物线, 与x轴交于A(1, 0), B((1-a)/a, 0), 且在A,B外侧, g'(x) >0
若f(x)大于等于Lnx在[1，+无穷大)上恒成立, 只需g(1) ≥ 0且g(x)在[1, +∞)上是增函数即可.
要做到这一点，须B在A左侧或重合: (1-a)/a ≤ 1, a ≥ 1/2

Answer 3

trum ,si

Answer 4

etbtt

Answer 5

45yunu