Question

求证：关于x的不等式ax²-ax+1>0恒成立的充要条件是0≤a<4

Answer 1

证明：（必要性）因为关于x的不等式ax²-ax+1>0恒成立，所以
（1）a=0时，不等式恒成立
（2）当a≠0时，对应二次函数y=ax²-ax+1，必须开口向上，而且对应方程判别式<0
解得：0<a<4
综上所述：0≤a<4
（充分性）若0≤a<4
（1）当a=0时，不等式恒成立
（2）当0<a<4时，对应二次函数y=ax²-ax+1，开口向上，而且对应方程判别式<0
所以图像都在x轴上方，也即ax²-ax+1>0恒成立
综上所述，充分性得证。

Answer 2

解：这题简单利用最大值就可以了。