Question

证明：如果整数a,b满足(a,b)=1,那么(a+b,a-b)=1或者2

信息安全数学基础第一张第24题

Answer 1

设（a+b，a-b）=k，k为大于2的整数。a+b=i*ka-b=j*k=>a=（i+j）/2*kb=（i-j）/2*k如果a，b同为奇数，如果k是奇数，则i和j必定都是偶数，（i+j）/2和（i-j）/2显然能被2整除，（a，b）=k。

与已知条件矛盾；如果k是偶数，如果k=4，则a，b都是偶数，所以，k不可能等于4。k>4=>（a，b）=k/2，与已知条件矛盾。如果a，b一个是奇数一个是偶数，i，j，k必须都是奇数。=>（i+j）/2和（i-j）/2显然能被2整除，（a，b）=k。

正整数

它是从古代以来人类计数的工具。可以说，从“1头牛，2头牛”或是“5个人，6个人”抽象化成正整数的过程是相当自然的。中国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽无空 位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度-阿拉伯命数法中的零(zero)来自印度的(Sunya)字，其原意也是“空”或“空白”。

Answer 2

如下：

设(a+b,a-b)=k k为大于2的整数。

a+b=i*k

a-b=j*k

=>a=(i+j)/2*k

b=(i-j)/2*k

如果a,b同为奇数，如果k是奇数，则i和j必定都是偶数，(i+j)/2和(i-j)/2显然能被2整除，(a,b)=k 与已知条件矛盾；如果k是偶数，如果k=4，则a,b都是偶数，所以，k不可能等于4。k>4 =>(a,b)=k/2，与已知条件矛盾。

介绍

整除与除尽的区别是，整除只有当被除数、除数以及商都是整数，而余数是零．除尽并不局限于整数范围内，被除数、除数以及商可以是整数，也可以是有限小数，只要余数是零就可以了。它们之间的联系就是整除是除尽的特殊情况。

Answer 3

设(a+b,a-b)=k,(k为整数)

则存在两个互质的整数m,n使得：

a+b=mk,a-b=nk。

解得：a=(m+n)k/2,b=(m-n)k/2。

由题意：（(m+n)k/2，(m-n)k/2）=1。

若m,n同为奇数，则m+n,m-n都为偶数，（(m+n)k/2，(m-n)k/2）=k=1。

若m,n为一个奇数、另一个为偶数，则m+n,m-n都为奇数，则k为偶数,此时，k=2。

最大公约数的求法：

（1）用分解质因数的方法，把公有的质因数相乘。

（2）用短除法的形式求两个数的最大公约数。

（3）特殊情况：如果两个数互质，它们的最大公约数是1。

如果两个数中较小的数是较大的数的约数，那么较小的数就是这两个数的最大公约数。

最小公倍数的方法：

（1）用分解质因数的方法，把这两个数公有的质因数和各自独有的质因数相乘。

（2）用短除法的形式求。

（3）特殊情况：如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
如果两个数中较大的数是较小的数的倍数，那么较大的数就是这两个数的最小公倍数。

Answer 4

设(a+b,a-b)=k,(k为整数)
则存在两个互质的整数m,n使得：
a+b=mk,a-b=nk
解得：a=(m+n)k/2,b=(m-n)k/2
由题意：（(m+n)k/2，(m-n)k/2）=1
若m,n同为奇数，则m+n,m-n都为偶数，（(m+n)k/2，(m-n)k/2）=k=1
若m,n为一个奇数、另一个为偶数，则m+n,m-n都为奇数，则k为偶数,此时，k=2

Answer 5

设(a+b,a-b)=k k为大于2的整数。
a+b=i*k
a-b=j*k
=>a=(i+j)/2*k
b=(i-j)/2*k
如果a,b同为奇数，如果k是奇数，则i和j必定都是偶数，(i+j)/2和(i-j)/2显然能被2整除，(a,b)=k 与已知条件矛盾；如果k是偶数，如果k=4，则a,b都是偶数，所以，k不可能等于4。k>4 =>(a,b)=k/2，与已知条件矛盾。
如果a,b一个是奇数一个是偶数，i,j,k必须都是奇数。=>(i+j)/2和(i-j)/2显然能被2整除，(a,b)=k 与已知条件矛盾。
所以，假设不成立。
=>(a+b,a-b)=1或者2