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证明:作DM垂直AB于M,DN垂直BC于N.又BD平分∠ABC,则DM=DN.(角平分线的性质)
S⊿ABD/S⊿BCD=(AB*DM/2)/(BC*DN/2)=AB/BC;
又S⊿ABD/S⊿BCD=AD/DC;(高相同的两个三角形面积比等于底之比)
∴AB/BC=AD/DC(等量代换)
又AD=DE,则AB/BC=DE/DC;-----------(1)
EF//BC,则:EF/BC=DE/DC.-------------(2)
所以,AB/BC=EF/BC,得:AB=EF.
S⊿ABD/S⊿BCD=(AB*DM/2)/(BC*DN/2)=AB/BC;
又S⊿ABD/S⊿BCD=AD/DC;(高相同的两个三角形面积比等于底之比)
∴AB/BC=AD/DC(等量代换)
又AD=DE,则AB/BC=DE/DC;-----------(1)
EF//BC,则:EF/BC=DE/DC.-------------(2)
所以,AB/BC=EF/BC,得:AB=EF.
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因为:角ABD=角CBD;又FE//BC;所以角ABD=角EFD;又AD=DE;那么点F和点B重合;所以:BD为三角形ABE的中线,又是角ABE的角平分线;所以,三角形ABD全等于三角形EBD;所以:AB=BE;因为点F与点B重合;所以:AB=EF.
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证明:在BC上取点M使AB=BM。
连接DM,EM。
∵AB=BM,∠ABD=∠DBC,BD=BD,
∴⊿ABD≌⊿MBD(SAS)
∴∠ADB=∠MDB
AD=DM∵AD=DE,∴DE=DM
∴∠DME=∠DEM
又BD平分∠ABC,∠ADM=∠DME+∠DEM
∴∠ADB=∠MDB=∠DME=∠DEM
又∠DBM+∠BDM+∠BMD=180°
∠BMD+∠DME+∠EMC=180°
∴∠DBM=∠EMC
∴BF∥ME又EF//BC
∴BMEF是平行四边形。
∴FE=BM又AB=BM
∴FE=AB
连接DM,EM。
∵AB=BM,∠ABD=∠DBC,BD=BD,
∴⊿ABD≌⊿MBD(SAS)
∴∠ADB=∠MDB
AD=DM∵AD=DE,∴DE=DM
∴∠DME=∠DEM
又BD平分∠ABC,∠ADM=∠DME+∠DEM
∴∠ADB=∠MDB=∠DME=∠DEM
又∠DBM+∠BDM+∠BMD=180°
∠BMD+∠DME+∠EMC=180°
∴∠DBM=∠EMC
∴BF∥ME又EF//BC
∴BMEF是平行四边形。
∴FE=BM又AB=BM
∴FE=AB
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