Question

如图，BD平分∠ABC交AC于D，点E为CD上一点，且AD=DE，EF//BC交BD于F，求证：AB=EF。

一定要快啊，是八上新观察里的题

Answer 1

证明:作DM垂直AB于M,DN垂直BC于N.又BD平分∠ABC,则DM=DN.(角平分线的性质)
S⊿ABD/S⊿BCD=(AB*DM/2)/(BC*DN/2)=AB/BC;
又S⊿ABD/S⊿BCD=AD/DC;(高相同的两个三角形面积比等于底之比)
∴AB/BC=AD/DC(等量代换)
又AD=DE,则AB/BC=DE/DC;-----------(1)
EF//BC,则:EF/BC=DE/DC.-------------(2)
所以,AB/BC=EF/BC,得:AB=EF.

Answer 2

因为：角ABD=角CBD;又FE//BC;所以角ABD=角EFD;又AD=DE;那么点F和点B重合；所以：BD为三角形ABE的中线，又是角ABE的角平分线；所以，三角形ABD全等于三角形EBD;所以：AB=BE;因为点F与点B重合；所以：AB=EF.

Answer 3

证明：在BC上取点M使AB=BM。
连接DM，EM。
∵AB=BM，∠ABD=∠DBC，BD=BD，
∴⊿ABD≌⊿MBD（SAS）
∴∠ADB=∠MDB
AD=DM∵AD=DE，∴DE=DM
∴∠DME=∠DEM
又BD平分∠ABC，∠ADM=∠DME+∠DEM
∴∠ADB=∠MDB=∠DME=∠DEM
又∠DBM+∠BDM+∠BMD=180°
∠BMD+∠DME+∠EMC=180°
∴∠DBM=∠EMC
∴BF∥ME又EF//BC
∴BMEF是平行四边形。
∴FE=BM又AB=BM
∴FE=AB