Question

初三数学找规律的计算题！！！急急急！！！

规律是这样：1/根号2+1=根号2+1，1/根号3+根号2=根号3-根号2，1/根号4+根号3=根号4-根号3
计算：1/根号2+1+1/根号3+根号2+1/根号4+根号3+……+1/根号2008+根号2007+1/根号2009+根号2008
要详细过程！！！要是真的不会，请告诉我根号2007和根号2009能否化简？？？怎样化简？？？好的加分！！！

Answer 1

计算：1/(√2+1)+1/(√3+√2)+1/(√4+√3)+……+1/(√2008+√2007)+1/(√2009+√2008)
解：原式=(√2-1)+(√3-√2)+(√4-√3)+......+(√2008-√2007)+(√2009-√2008)=-1+√2009.
不是化简，是分母有理化，方法是;
1/[√(a+1)+√a]=[√(a+1)-√a]/{[√(a+1)+√a][√(a+1)-√a]}=√(a+1)-√a
如：1/(√2009+√2008)=(√2009-√2008)/[(√2009+√2008)(√2009-√2008)]
=(√2009-√2008)/(2009-2008)=√2009-√2008.
分母用了公式：(a+b)(a-b)=a²-b².

追问

为什么等于-1+根号2009呢？根号2007呢？
还有分母有理划那部分看不明白！！！

追答

把倒数第三项，第四项也写出来：
原式=(√2-1)+(√3-√2)+(√4-√3)+......+(√2006-√2005)+(√2007-√2006)+(√2008-√2007)
+(√2009-√2008)=-1+√2009...............(1)
你看√2007还有吗？其实只看前面三项就够了！(√2-1)+(√3-√2)+(√4-√3)=-1+√4，相加后
只留下了-1和√4，而√4就是这里面最大的项。再发挥点想像力就不难知道：上面(1)式中
最大的项是√2009，因此就只留下了-1+√2009.
单说分母看怎么有理化。是“有理化”，不是“有理划”。所谓“有理化”，就是把无理
数变为有理数；或说得更简单点，就是想办法把根号去掉。
因为[√(n+1)+√n][√n+1)-√n]=[√n+1)]²-[√n]²=(n+1)-n=1
所以把分式1/[√(n+1)+√n]的分子分母同乘以[√(n+1)-√n]以后，分母都变成了1，而分子则
变成了[√(n+1)-√n]，把n=1，2，3，4，........，2009；依次写出来不就是上面的等式(1)吗？

Answer 2

原式=【（根号2-1）+（根号3-根号2）+（根号4-根号3）+·······+（根号2009-根号2008）】=根号2009 -1 （小括号里的数拆开后隔一项就约掉了，只剩-1和根号2009）

Answer 3

不会

Answer 4

1/根号2+1+1/根号3+根号2+1/根号4+根号3+……+1/根号2008+根号2007+1/根号2009+根号2008
=（1/根号2+1）+（1/根号3+根号2)+(1/根号4+根号3)+……+(1/根号2008+根号2007)+(1/根号2009+根号2008)
=(根号2+1)+(根号3-根号2)+(根号4-根号3)+......+(根号2008-根号2007)+(根号2009-根号2008)
=1+根号2-根号2+根号3-根号3+......+根号2007-根号2007+根号2008-根号2008+根号2009.。。。。。。。。。。。。。。。a
=1+根号2009
a步前后消去了