Question

设a,b,c是非零有理数，求a的绝对值分之a加b的绝对值分之b加c的绝对值分之c加ab的绝对值分之ab加bc的绝对值

设a,b,c是非零有理数，求a的绝对值分之a加b的绝对值分之b加c的绝对值分之c加ab的绝对值分之ab加bc的绝对值分之bc加ca的绝对值分之ca加abc的绝对值分之abc

Answer 1

结论：
{a, b, c} 为 {+, +, +} 。。。 最终值为 7.
其他情况均为 - 1.

告诉你三个思路。
1.严格求解。
令 x = a/abs(a); y = b/abs(b); z = c/abs(c);....where 符号 abs 表示求绝对值。

显然有 x^2 = y^2 = z^2 = 1 .... 因为 a^2 = [abs(a)]^2 （^2 表示求平方）
(1.)由
(a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2*b + 3a^2*c + 3b^2*a + 3b^2*c + 3c^2*a + 3c^2*b + 6 a*b*c.
将x, y, z 以及 x^2 = y^2 = z^2 = 1 带入上述公式有：
(x + y + z)^3 = x + y + z + 3y + 3z + 3x + 3z + 3x + 3y + 6xyz
= (x + y + z) + 6(x + y + z + xyz)
因此 (x + y + z + xyz) = 1/6[(x + y + z)^3 - (x + y +z)].
(2.) 由
(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc ...
则(x + y + z)^2 = 1 + 1 + 1 + 2xy + 2xz + 2yz
因此(xy + xz + yz) = 1/2 [(x + y + z)^2 - 3]

(3.) 由题意，
x + y + z + xy + yz + xz + xyz = (x + y + z + xyz) + (xy + xz + yz)
带入（1.），（2.）求解，并令 x + y + z = m
则原等式为：
= 1/6(m^3 - m) + 1/2(m^2 - 3)
= 1/6(m^3 + 3m^2 - m - 3) - 1
= 1/6 * (m - 1)(m + 1)(m + 3) - 1

因此，这里只需要讨论 m 的取值情况。
由于 m = x + y + z....取值情况为
{ +, +, +} m = 3 答案为7
{+, + , -} m = 1 答案为 -1
。。。。
{-, - , -} m = -3 。。。-1

实际上，这里只需要讨论 4 中情况，根据对称性，讨论 x 的取值情况，与讨论 y, z 是等同的。
因此，只需要分析：
x, y, z全为正：及{+, + , +} m = 3.
x, y, z中2+， 1-： 及{+, +, -}或者{+, -, +}。。。 m = 1
x, y, z中 2-, 1-: 及{+, -, -}。。。。m = -1
x, y, 中， 3-: 及{-, - , -} m = -3
将m带入前面的式子，很容易得到 7 或 -1.

2.直接由对称性入手。
由于x, y, z具有对称性（把 x 与 y，或者 z 对换，不改变题意和结果）。
因此，可以固定x, 讨论 y 与 z 的取值情况。
（1） 令 x = 1
则 x + y + z + xy + yz + xz + xyz = 1 + 2(y + z) + 2yz.
同理再次利用对称性
y,z 取 2+ : {+, +} 原式子 = 1 + 2*2 + 2 = 7
y,z 取 1+, 1- : {+, -} 或 {-, +} 原式子 = 1 + 2*2 - 2 = -1
y, z 取 2-: { -, -} 原式子 = 1 + 2*(-2) + 2 = -1

(2）令 x = -1
则 x + y + z + xy + yz + xz + xyz = - 1.
综合上面所述，元等式只有在 x, y, z均为正数的情况下，也及时a ,b, c都为正数时， 取得7 ，其他情况均取得 -1.

3. 穷举法：
对于集合{x, y, z}
x 的取值可能为2，
y ....................2,
z .....................2,
因此，总共的取值可能为 2*2*2 = 8
及是，
{1, 1, 1} ... 7
{1, 1, -1} ....-1
{1, -1, 1} ...-1
{1, -1, -1} ...-1
{-1, 1, 1} ....-1
{-1, 1, -1} ....-1
{-1, -1, 1} ....-1
{-1, -1, -1} ....-1

这个是初中的题目吧？有十几年没摸了。。。。小朋友，应该对你有帮助吧？

Answer 2

1.当a>0,且b,c同负时，结果为-1
2.当a>0,且bc<0时，结果为-1
3.当a,b,c同正时，结果为7
同理考察b,c的情况也一样

Answer 3

分情况讨论...大于零或者小于零，。 额~~ 有点麻烦好像.... 先给这个提示...