Question

已知函数f（x）=x-ln（x+a）在x=1处取得极值。

若关于x的方程f（x）+2x=X^2+b在[1/2,2]上恰有两不相等的实根，求实数b的范围

Answer 1

f’(x)=1-1/(x+a)，因为在x=1处取得极值，所以f’(1)=1-1/(1+a)=0得a=0；
方程f（x）+2x=X^2+b即为3x-lnx=x^2+b，即方程lnx=-x^2+3x-b在[1/2,2]上恰有两不相等的实根
可看成函数g(x)=lnx与函数h(x) =-x^2+3x-b在[1/2,2]上恰有两个交点，求b的取值范围；
设函数g(x)=lnx与函数k(x) =-x^2+3x +c正好相切，想办法求出c；
设切点横坐标为x，则g’(x)=1/x=k’(x)=-2x+3（相切时切线斜率相等），可解得x=1/2或x=1；
当x=1时，由g(x)=k(x)（相切时切点纵坐标相等），可解得c1=-2；
当x=1/2时，由g(x)=k(x)（相切时切点纵坐标相等），可解得c2=-5/4+ln1/2=-5/4-ln2；
数形结合易得：h(x) =-x^2+3x-b只有在k1(x)= -x^2+3x-2和k2(x)= -x^2+3x-5/4-ln2之间上下移动的时候才满足h(x)与g(x) 在[1/2,2]上恰有两个交点，且h(x)不可以等于k1(x)但可以等于k2(x)（因为k1(x)与g(x)只有一个交点，而k2(x)与g(x)有两个交点），所以-2<-b≦-5/4-ln2，即5/4+ln2≦b<2；
所以最终b的取值范围为5/4+ln2≦b<2

Answer 2

1. 求a ：现求出f(x)的导数，根据“导数在极值点为0”解得a=0;
2. 将f(x)带入原方程，变形得：x^2-3x+b+Inx=0;
3. 设g(x)=x^2-3x+b+Inx,则g(x)=0在[1/2,2]上恰有两不相等的实根，求出g'(x)=2x-3+1/x;
4. 由g'(x)=0解得x=1/2或x=1，带入g(x)得：g(1/2)=-5/4-In2+b，g(1)=-2+b，g(2)=-2+In2+b【可以自己画画图】
5.由于有两个不相等的实根，易知g(1)<b<=g(1/2),即-2<b<=-5/4-In2

Answer 3

因为f（x）=x-ln（x+a）在x=1处取得极值，f'(x)=1-1/(x+a)，所以f'(1)=1-1/(1+a)=0,解得a=0.
关于x的方程即b=x^2-3x+lnx,令g(x)=x^2-3x+lnx,则g'(x)=2x-3+1/x,令g'(x)=0,解得x=1或x=1/2,
可知g(x)在[1/2,1]单减，[1,2]单增，且g(1/2)=-5/4-ln2,g(1)=-2.g(2)=-2+ln2>g(1/2),所以b的取值范围是(-2,-5/4-ln2].