已知函数f(x)=x-ln(x+a)在x=1处取得极值。

若关于x的方程f(x)+2x=X^2+b在[1/2,2]上恰有两不相等的实根,求实数b的范围... 若关于x的方程f(x)+2x=X^2+b在[1/2,2]上恰有两不相等的实根,求实数b的范围 展开
anranlethe
2011-09-08 · TA获得超过8.6万个赞
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f’(x)=1-1/(x+a),因为在x=1处取枝滑得极值,所以f’(1)=1-1/(1+a)=0得a=0;
方程f(x)+2x=X^2+b即为3x-lnx=x^2+b,即方程lnx=-x^2+3x-b在[1/2,2]上恰有两不相等的实根
可看成函数g(x)=lnx与函数h(x) =-x^2+3x-b在[1/2,2]上恰有两个交点,求b的取值范围;
设函数g(x)=lnx与函数k(x) =-x^2+3x +c正好相切,想办法求出c;
设切点横坐标为x,则g’(x)=1/x=k’(x)=-2x+3(相切时切线斜率相等),可解得x=1/2或x=1;
当x=1时运启,由g(x)=k(x)(相切时切点纵坐标相等),可解得c1=-2;
当x=1/2时,由g(x)=k(x)(相切时切点纵坐标相等),可解得c2=-5/4+ln1/2=-5/4-ln2;
数形结合易得:h(x) =-x^2+3x-b只有在k1(x)= -x^2+3x-2和k2(x)= -x^2+3x-5/猛悄腊4-ln2之间上下移动的时候才满足h(x)与g(x) 在[1/2,2]上恰有两个交点,且h(x)不可以等于k1(x)但可以等于k2(x)(因为k1(x)与g(x)只有一个交点,而k2(x)与g(x)有两个交点),所以-2<-b≦-5/4-ln2,即5/4+ln2≦b<2;
所以最终b的取值范围为5/4+ln2≦b<2
沙苑玉璧
2011-09-08 · TA获得超过105个赞
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1. 求a :现求出f(x)的消敬导数,根据“导数在极值点为0”解得a=0;
2. 将f(x)带入原方程,变形得:x^2-3x+b+Inx=0;
3. 设g(x)=x^2-3x+b+Inx,则g(x)=0在[1/2,2]上恰有两不相等的实根咐李,求出g'(x)=2x-3+1/x;
4. 由g'(x)=0解得x=1/2或x=1,带入g(x)得:g(1/2)=-5/4-In2+b,g(1)=-2+b,g(2)=-2+In2+b【可以衡桥迟自己画画图】
5.由于有两个不相等的实根,易知g(1)<b<=g(1/2),即-2<b<=-5/4-In2
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fzhbf
2011-09-08
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因禅销为f(x)=x-ln(x+a)在x=1处取得极值,f'(x)=1-1/(x+a),所以f'(1)=1-1/(1+a)=0,解得a=0.
关于x的方程即b=x^2-3x+lnx,令g(x)=x^2-3x+lnx,则g'(x)=2x-3+1/x,令g'(x)=0,解得x=1或x=1/2,
可知贺和游g(x)在[1/2,1]单减,[1,2]单增,且g(1/2)=-5/棚清4-ln2,g(1)=-2.g(2)=-2+ln2>g(1/2),所以b的取值范围是(-2,-5/4-ln2].
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