Question

已知函数f(x)=ln(x+1)+ax 若存在x∈[1,2],使不等式f'(x)≥2x成立,求a范围

2，求函数f(x)的单调区间

Answer 1

第一小题：f'(x)=1/(x+1)+a≥2x，存在x∈[1,2]使不等式成立不易讨论，我们可以考虑它的对立面：即不存在x∈[1,2]使不等式f'(x)=1/(x+1)+a≥2x成立，也即x∈[1,2]时不等式f'(x)=1/(x+1)+a<2x恒成立，这样就可以采用参变分离的方法得a<-1/(x+1)+2x在x∈[1,2]时恒成立，则a要小于y=-1/(x+1)+2x在[1,2]上的最小值，而y=-1/(x+1)+2x在[1,2]上是一个递增函数，所以a<3/2，因此再反过来，满足题意的a的取值范围为a≥3/2
第二小题：（若存在x∈[1,2],使不等式f'(x)≥2x成立，这个是整个题干不？）若是的话，ln(x+1)单调增，由第一小题a>0，ax单调增，所以f(x)在定义域x>-1上单调增；
若那个光是第一小题的题干，则要讨论：
当a=0时，f(x)=ln(x+1)在定义域x>-1上单调增；
当a>0时，ln(x+1)和ax都是增函数，所以f(x)=ln(x+1)在定义域x>-1上单调增；
当a<0时，f'(x)=1/(x+1)+a=(ax+a+1)/(x+1)，由定义域x>-1导数的分母大于0，正负性由分子决定，易得x<-1-1/a时，分子大于0即导数大于0，此时f(x)单调增；x>-1-1/a时，分子小于0即导数小于0，此时f(x)单调减；所以a<0时f(x)的单调增区间为-1<x<-1-1/a，单调减区间为x>-1-1/a

Answer 2

1. 由f'(x)=1/(x+1) +a ≥2x 可得a ≥2x -1/(x+1)
当1≤x≤2时，3/2≤2x -1/(x+1) ≤11/3
所以a≥3/2.

2. 当a≥0时，f'(x)=1/(x+1) +a>0, 所以f(x)在定义域(-1, +∞)上为增函数。
当a<0时，若f'(x)>0, 即-1<x<-(1+a)/a时，f为增函数；x≥-(1+a)/a时，f(x)为减函数。