Question

如图，定积分怎么求

怎么求定积分

Answer 1

先求不定积分
换元法
令t=tanu, 则√(1+t²)=secu, dt=d(tanu)
∫ √(1+t²) dt
=∫ secu d(tanu)
=secu*tanu-∫ tanu d(secu)
=secu*tanu-∫ tan²usecu du
=secu*tanu-∫ (sec²u-1)secu du
=secu*tanu-∫ secud(tanu)+∫ secudu
=secu*tanu-∫ secud(tanu)+ln|tanu+secu|
∴∫ √(1+t²) dt
=∫ secu d(tanu)
=[secu*tanu+ln|tanu+secu|]/2+C
=[t√(1+t²)+ln|t+√(1+t²)|]/2+C

∴∫ (0,x) √(1+t²) dt
=[x√(1+x²)+ln|x+√(1+x²)|]/2-0
=[x√(1+x²)+ln|x+√(1+x²)|]/2