Question

用数学归纳法证明（n+1）(n+2)…(n+n)=2^n*1*3*…*(2n-1)(n∈N+)在线等

n=k时
等式左边为 (k+1)(k+2)...(k+k)
当n=k+1时
等式左边为 [(k+1)+1][(k+1)+2]....[(k+1)+k][(k+1)+k+1]
中[(k+1)+k]怎么出来的啊？难道不是（k+k）吗怎么多出来了一项

Answer 1

当n=k+1时，等式左边一共有k+1个式子相乘，倒数第二项就是[(k+1)+k]，（k+k）这一项其实是（k+1+k-1）也就是倒数第三项。

追问

那比如2+4+6+8+2n
n=k+1左边=2+4+6+8+2k+2（k+1）呢？这里为什么倒数第二项就是2k了？

追答

这两个本来就是不同的式子怎么能这么拿过来比较呢？（n+1）(n+2)…(n+n)是n项之积，2+4+6+8+2n=2*（1+2+...+n）是n项之和。n=k+1时就是k+1项的积或者和了。归纳的过程中关键在于n，与n的倍数2什么的没有关系。例如3+6+9+。。。+3n=3*（1+2+...+n）是一样的分析方法。

追问

你的意思是积的时候就倒数第二项就是[(k+1)+k]？和的时候就n=k+1倒数第二项？
我弱弱地问：倒数第二项是怎么出来的？

追答

其实你需要明确的是整个表达式的项数是由哪个量决定的，这里显然都是由n决定的。那么n=k+1的时候，就有1，2，3，......，k-1，k，k+1这些项在变化。你能找到最后一项应该是没问题的，倒数第二项就是发生变化的那个量的位置从k+1变成k就好了。

Answer 2

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