Question

线性代数，正定矩阵的证明

Answer 1

这个和Hilbert矩阵差不多，一般利用Gram矩阵证明。
考察多项式基底 1,x,x^2,...,x^{n-1}，它们线性无关
定义内积<f,g>为xf(x)g(x)在[0,1]上的积分，那么上述基底的Gram矩阵就是A，所以正定。

追问

Hilbert，Gram矩阵我连概念都不知道，我们教材上只有这些：
矩阵正定的充要条件：1、特征值全为正；2、与单位矩阵合同；3、顺序主子式全大于零。
可以证明吗？

追答

用顺序主子式也可以证明，因为每个都可以精确算出来，不过这个需要用到Cauchy矩阵的行列式公式，你的知识比较少，这条路可能也未必能走通。