Question

如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高

如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．在图①中，点P是边BC的中点，此时h3=0，可得结论：h1+h2+h3=h.在图2～5中，点P分别在线段MC上，MC延长线上，△ABC内，△ABC外。
（1）请探究：图②～⑤中，h1、h2、h3、h之间的关系；（直接写出结论）
（2）说明图2所得结论为什么是正确的；
（3）说明图4所得结论为什么是正确的．

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Answer 1

在图①中，点P是BC的中点，此时H3=0, 可通过等式S△ABP+S三角形ACP=S△ABC得出结论:h1+h2+h3=h.

在图②~⑤中，点P 分别在线段MC上，MC延长线上，△ABC内，△ABC外。

（1）  请探究：图②~⑤中，h1,h2,h3,h之间的关系（直接写出关系）

(2)证明图②所的结论；

（3）再改变点P的位置，画出图形，写出相应的结论，不用证明。

Answer 2

解：（1）②hl+h2+h3=h；③h1-h2+h3=h；④h1+h2+h3=h；⑤h1+h2-h3=h．
（2）图②中，h1+h2+h3=h．
连接AP，
则S△APB+S△APC=S△ABC，
∴ AB×h1+ AC×h2= BC×h．
又h3=0，AB=AC=BC，
∴h1+h2+h3=h．
（3）图⑤中，h1+h2-h3=h．
连接PA、PB、PC，（如答图）
则S△APB+S△APC=S△ABC+S△BPC．
∴ AB×hl+ AC×h2= BC×h+ BC×h3
又AB=AC=BC，
∴h1+h2=h+h3．
∴h1+h2-h3=h．

Answer 3

：（1）图②-⑤中的关系依次是：h1+h2+h3=h；h1-h2+h3=h；h1+h2+h3=h；h1+h2-h3=h；（2）由图（2）有S△ABP+S△ACP=S△ABC根据等边三角形的性质，及面积公式得出结论；（3）由图（4）有S△ABP+S△BCP+S△ACP=S△ABC，根据等边三角形的性质，及面积公式得出结论；（4）延长BR、CS交于A，由（3）有h1+h3+h4= mhm-n．解答：解：（1）图②-⑤中的关系依次是：h1+h2+h3=h；h1-h2+h3=h；h1+h2+h3=h；h1+h2-h3=h；（2）图②中，h1+h2+h3=h．证法一：∵h1=BPsin60o，h2=PCsin60o，h3=0，∴h1+h2+h3=BPsin60o+PCsin60o=BCsin60o=ACsin60o=h．证法二：连接AP，则S△APB+S△APC=S△ABC．∴ 12AB×h1+12AC×h2=12BC×h．又h3=0，AB=AC=BC，∴h1+h2+h3═h；证明：（3）图④中，h1+h2+h3=h．过点P作RS∥BC与边AB、AC相交于R、S．在△ARS中，由图②中结论知：h1+h2+0=h-h3．∴h1+h2+h3=h．说明：（2）与（3）问，通过作辅助线，利用证全等三角形的方法类似给分；（4）由（3）可知：h1+h3+h4= mhm-n．让R、S延BR、CS延长线向上平移，当n=0时，图⑥变为图④，上面的等式就是图④中的等式，所以上面结论是图④中结论的推广．

Answer 4

解：（1）连接PA，PB，PC，
则S△ABC=S△PAC+S△PBC+S△PAB，
∴
12BC•h=
12AB•h1+
12AC•h2+
12BC•h3，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∴h=h1+h2+h3；

（2）仍有h=h1+h2+h3；
理由：如图：设P在AC上，则h2=0，
连接PB，
则S△ABC=S△PBC+S△PAB，
∴
12BC•h=
12AB•h1+
12BC•h3，
∵△ABC是等边三角形，
AB=BC=AC，
∴h=h1+h3；
即h=h1+h2+h3；

（3）h＜h1+h2+h3．
连接PA，PB，PC，
则S△ABC＜S△PAC+S△PBC+S△PAB，
∴
12BC•h＜
12AB•h1+
12AC•h2+
12BC•h3，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∴h＜h1+h2+h3．

Answer 5

这个图