Question

an≥0，a1=0 a(n+1)^2+a(n+1)-1=an^2 Sn=a1+a2+······+an

1.求证an＜a(n+1)
2.Sn＞n-2

Answer 1

1，a(n+1)^2+a(n+1)-1=an^2
有a(n+1)^2+a(n+1)-2=an^2-1
即(a(n+1)-1)(a(n+1)+2)=(an-1)(an+1)
由于an≥0,所以，a(n+1)-1与an-1同号
又因为a1=0使得a1-1<0
所以对任意n∈N，均有，an-1<0
an<1恒成立
所以an^2=a(n+1)^2+a(n+1)-1<a(n+1)^2
因为an≥0，等式两边同时开方 an<a(n+1)

2，由于an^2+an-1=a(n-1)^2
a(n-1)^2+a(n-1)-1=a(n-2)^2
……
a(2)^2+a(2)-1=a(1)^2
使用累加法 an^2+Sn-a1-(n-1)=a(1)^2
由于a1=0，an<1
可得，Sn=a(1)^2+a1+(n-1)-an^2=n-1-an^2<n-1-an^2>n-2

Answer 2

1. 只需证明an<1
用数学归纳法
(1) n=1时 a1=0<1
(2) 设n=k时，ak<1成立
(3) n=k+1时，已知a(k+1)≥0
又a(k+1)²+a(k+1)-1=ak²<1
a(k+1)²+a(k+1)-2<0
[a(k+1)+2][a(k+1)-1]<0
解得-2<a(k+1)<1
所以0≤a(k+1)<1
故对任意n,都有an<1
则a(n+1)<1
所以an²=a(n+1)²+a(n+1)-1<a(n+1)²+1-1=a(n+1)²
故an<a(n+1)
2. 已知a(n+1)²-an²=1-a(n+1)
推得an²-a(n-1)²=1-an
a(n-1)²-a(n-2)²=1-a(n-1)
.....
a2²-a1²=1-a2
叠加 an²-a1²=(n-1)-[a2+a3+...+an]
因a1=0
所以an²=n-1-Sn
Sn=n-1-an²
因an<1 an²<1
所以Sn>n-1-1=n-2
希望能帮到你O(∩_∩)O