Question

大学 线性代数

确定a,b的值使下列方程组有解，并求其解
aX1+bX2+2X3=1
(b-1)X2+X3=0
aX1+bX2+(1-b)X3=3-2b
要详细点的过程，谢谢了！！

Answer 1

这个好麻烦, 期待好的解法

解: 系数矩阵的行列式 |A|=a(1-b)(1+b)
当 |A|≠0, 即a≠0 且 b≠1 且 b≠-1时, 方程组有唯一解.

增广矩阵 =
a b 2 1
0 b-1 1 0
a b 1-b 3-2b

r3-r1
a b 2 1
0 b-1 1 0
0 0 -1-b 2-2b

当b=-1时, -1-b=0, 2-2b=4≠0, 此时方程组无解.

当b=1时, 增广矩阵 -->
a 1 2 1
0 0 1 0
0 0 -2 0
-->
a 1 0 1
0 0 1 0
0 0 0 0
此时方程组的通解为: (0,1,0)'+c(1,-a,0)'.

当 b≠1 且 b≠-1 且 a=0 时, 增广矩阵 -->
0 b 2 1
0 b-1 1 0
0 0 -1-b 2-2b

r1-2r2, r3+(1+b)r2
0 2-b 0 1
0 b-1 1 0
0 b^2-1 0 2-2b

若b=2,方程组无解
若b≠2,
r1*(1/(2-b)), r2-(b-1)r1, r3-(b^2-1)r1
0 1 0 1/(2-b)
0 0 1 (1-b)/(2-b)
0 0 0 (b-1)(b-5)/(2-b)
b=5时方程组有无穷多解, 否则无解
此时, 增广矩阵 -->
0 1 0 -1/3
0 0 1 4/3
0 0 0 0
方程组的通解为: (0,-1/3,4/3)'+c(1,0,0)'

综上有:
当a≠0 且 b≠1 且 b≠-1时, 方程组有唯一解.
当b=1时, 方程组的通解为: (0,1,0)'+c(1,-a,0)'.
当b=5且a=0时,方程组的通解为: (0,-1/3,4/3)'+c(1,0,0)'
其余情况,方程组均无解.