Question

复变函数怎样求导？

Answer 1

没有对复变函数定义过导数，因为没意义。
对于复变函数只有能不能解析的问题。
欧拉公式EXP（iX）＝cosX＋isinX实际上是变量X的复值函数，也就是所EXP（iX）是一元实变复值函数。
在专门的复变函数课本上，有推广的欧拉公式：
EXP（iZ）＝cosZ＋isinZ ，这里Z是复平面上任意一点。
函数EXP（iZ）是解析函数，可以对变量Z求导数（就像实变函数一样求导）。
在复变函数理论中
d（sinZ）/dZ＝－cosZ ，d（cosZ）/dZ＝sinZ
而d（EXP（iZ））/dZ ＝i*EXP（iZ）=sinZ－icosZ
所以d（cosZ＋isinZ）/dZ＝sinZ－icosZ
所以d（EXP（iZ））/dZ =d（cosZ＋isinZ）/dZ是成立的。
EXP（iX）＝cosX＋isinX若看成 EXP（iZ）＝cosZ＋isinZ
在Z=X+i·0=X 即点（X，0）处的值
则
[d（EXP（iZ））/dZ ] |z=x ＝ [d（cosZ＋isinZ）/dZ] |z=x
就是i·EXP（iX）＝sinX－icosX

Answer 2

首先要判断函数是否解析。判定方法就是用柯西-黎曼方程。解析函数的话，就可以求导了。
因为一般的复变函数表示为：f(x,y)=u(x,y)+i*v(x,y)
对于解析函数，上面的形式可转变为f(x,y)=g(z)，然后按照单变量求导法则，对g(z)进行求导即可。