Question

线性代数矩阵相乘问题： 1.同阶方阵A×B=0，能否直接推出|A|=0或者|B|=0？为啥

2.同阶方阵A×B=E（单位矩阵），能否直接推出|A|≠0且|B|≠0？为啥？
（众所周知|A×B|=|A|×|B|）

Answer 1

都是可以的
因为detA是一个数
若AB=0则det(AB)=detAdetB =0,所以detA=0或detB=0
但不能进一步推出A=0或B=0
容易举例
A= 0 1
00
detA=0, 但A不为O
同理，同阶方阵A×B=E（单位矩阵），则detAdetB=1,所以|A|≠0且|B|≠0

Answer 2

1.可以.同阶方阵A×B=0，由|AB|=|A||B|可知|A|=0或者|B|=0
2.可以.|AB|=|A||B|=1可知|A|≠0且|B|≠0,进一步即A,B可逆.

Answer 3

1 不能推出， 要看A是否满秩。 A满秩时 -> |A|≠0，B=0 -> |B|=0 ; A非满秩时 -> |A|=0 , B≠0,但|B|=0

2 可以，若乘积为单位阵 ，则要求两个做乘法的阵都满秩，也可以用
|A×B|=|A|×|B| 看出

追问

没大明白你的第一句话，还有我的第一个问题结论是|A|=0“或者”|B|=0，注意“或者”两个字~谢谢啊

追答

我给出的结论是，A B=0 仅可以推出 |B|=0

更正，A B=0 既不可以推出 |B|=0，也不能推出|A|=0
因为 A是零阵时，B可以满秩，也就是|B|≠0

追问

。。。。。大哥，零矩阵不就是行列式等于零吗。。。。。。o(╯□╰)o。。。。。怎么就不能推出|A|=0啊？A是零矩阵显然A的行列式就是0啊。。。。。。你这个假设已经让A的行列式为零了

追答

哦 ，想了一下，我的结论是错的， 可以推出

Answer 4

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