Question

高数：计算∫∫xyzdxdy，其中∑为球面x²+y²+z²=1的外侧 x≥0，y≥0

求之后极坐标求出具体数值步骤
2∫∫xy√1-x²-y²dxdy 之后用极坐标的步骤

Answer 1

被积曲面关于xOy对称，被积函数关于z是奇函数，根据第二类曲面积分的对称性原理
原式=2∫∫xy√1-x²-y²dxdy (其中，被积区域为x²+y²=1, x,y≥0)
原式=2∫[0->π/2]∫[0->1]r³√1-r²drdθ=(π/2)∫[0->1]r²√1-r²dr²
=(π/2)[∫[0->1]√1-r²dr²-∫[0->1](1-r²)√1-r²dr²]
=(π/2)[(-2/3)(1-r²)^(3/2) | [0->1] - (-2/5)(1-r²)^(5/2) | [0->1] ]
=2π/15