Question

在三角形ABC中,BD⊥AC于点D,CE垂直AB于点E,BD、CE相交于F且BE=CD,求证AF平分∠BAC

Answer 1

在三角形BCE于三角形CBD中
角BDC=角CEB=90°
BC=CB,BE=CD
所以三角形BCE于三角形CBD全等（HL）
所以角ACB=角ABC,且角DBC=角ECB
所以三角形ABC与三角形FBC都是等腰三角形
即AB=AC,FB=FC
所以在三角形ABF于三角形ACF全等（ SSS）
所以角BAF=角CAF即AF平分角BAC

Answer 2

证明：
在Rt△BEC和Rt△CDB中
BE=CD，BC=CB
∴Rt△BEC ≌ Rt△CDB
∴∠EBC=∠DCB
∴AB=AC
即△ABC是等腰三角形
而等腰三角形底边上的高，中线和角平分线是重合的（轴对称原理）
∴既然点F是高的交点，那么AF必然平分∠BAC

Answer 3

BD⊥AC。所以∠CEB=90°。CE垂直AB于点E。所以∠BDC=90°又∠EFB=∠DFC。BE=CD
所以△BFE≌△CFD。所以EF=FD..又 AF=AF.∠AEF=∠ADF=90°。△AFE≌△ADF
所以∠BAF=∠CAF
所以AF平分∠BAC