Question

过双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（-c，0）作圆：x^2+y^2=a^2的切线，切点为E，延长FE交

抛物线y^2=4cx于点P，若E为PF的中点，那么双曲线的离心率为

Answer 1

设双曲线的右焦点为F'，则F'的坐标为(c,0)
因为抛物线为y²=4cx，所以F'为抛物线的焦点
O为FF'的中点，E为FP的中点
所以OE为△PFF'的中位线，那么OE∥PF'
因为OE=a
那么PF'=2a
又PF'⊥PF，FF'=2c
所以PF=2b
设P(x,y)
x+c=2a
x=2a-c
过点F作x轴的垂线，点P到该垂线的距离为2a
由勾股定理
y²+4a²=4b²
4c(2a-c)+4a²=4(c²-a²)
得e=(√5+1)/2