Question

高中物理有关运动学的几个问题。

1.如图所示，杆AB搁置在半径为R的半圆桩上，A端沿水平面以速率V做直线运动，杆与水平面夹角θ。图示瞬间，杆与半圆柱相切于C点，此时圆柱上与杆相切的切点移动的速率Vc是多少？
2.平面上两直线夹角为θ﹙θ＜90°﹚，若它们各以垂直于自身的速率V1、V2在该平面上做如图所示的横向运动，求交点相对于纸平面的速率及交点相对于每一直线的速率。
答案是：1、Vc=vsin²θ/cosθ
2、V=（√v1 ^2+v2^2+2v1v2cosθ）∕sinθ
v＇1=（v1cosθ+v2）∕sinθ v’2=（v1+v2cosθ）∕sinθ
求推导。

Answer 1

第一题：
设A和地面夹角是α，这个α是随时间变化的，在图示瞬间等于θ。
然后以园桩中心为原点建立坐标系。
C的坐标是(Rsinα，Rcosα)，
求导得Vcx=(Rsinα)’=Rcosα×α‘，Vcy=(Rcosα)‘=-Rsinα×α'，
又因为A的坐标是(R/sinα，0)，对A的坐标求导得到A的速度，
所以v=(R/sinα)'=-[Rcosα/(sinα)^2]×α’，
所以α‘=-v(sinα)^2/(Rcosα)，
代入上面得Vcx=-v(sinα)^2，Vcy=vtanα(sinα)^2，
此瞬间α=θ，代入再把速度合成，
Vc=√[=-v(sinα)^2]^2+[vtanα(sinα)^2]=v(sinα)^2/cosα。

第二题：
经过时间t以后，交点的竖直位移是v2t，水平位移是v2t/tanα+v1t/sinα。
合位移是s=t√(v2)^2+(v2/tanα+v1/sinα)^2。
下面算根号里边的部分：
(v2)^2+(v2/tanα)^2=(v2/sinα)^2，
所以根号里边的部分等于(v1/sinα)^2+(v2/sinα)^2+[2v1v2cosα/(sinα)^2]，
所以交点速度v=s/t=√(v1/sinα)^2+(v2/sinα)^2+[2v1v2cosα/(sinα)^2]。
先算相对于L2的速度：
因为L2是水平的，交点的水平位移是v2t/tanα+v1t/sinα，
所以v2’=v1/sinα+v2/tanα=(v1+v2cosα)/sinα，根据对称性，交换一下v1和v2，
就是v1‘=v1/tanα+v2/sinα=(v1cosα+v2)/sinα。

Answer 2

一.
1) 切点 移动也就是C点在AB上移动。因为A为匀速运动，所以C的运动同样为匀速运动。也可以理解为AC长度匀速增加。
2） 做辅助线。连接圆心O和C则OC垂直于AB
因为A为匀速运动，所以理解为OA匀速增加。
3）已知角度 用Cos角度=Vct/Vat
所以Vc=Cos角度xVa
二。
1） 首先确定交点相对于纸张的运动轨迹。
画出交角的角平分线，则为交点相对于纸张的运动轨迹。然后把两速度分解到交点的运动轨迹上，求分速度和
2） 根据题1） 再把和速度分解到两条直线上。

Answer 3

1、Vcosθ

2、