Question

已知等腰直角三角形ABC内一点到三个顶点P的距离分别是PB＝1、PC＝2、PA＝3，其中C为直角顶点。求角BPC的度

已知等腰直角三角形ABC内一点到三个顶点P的距离分别是PB＝1、PC＝2、PA＝3，其中C为直角顶点。求角BPC的度

Answer 1

做CD⊥AB于点D
以AB为x轴 CD为y轴
设p点坐标为（x，y），DA=DB=DC=a
那么
①（a+x）² + y² = 9
②（a-y）² + x² = 4
③（a-x）² + y² = 1
由①③可得 ax = 2 所以 x = 2/a
由②③可得 2ax-2ay=3 所以y= 1/2a

代入①
4a^4 -20a^2 +17 = 0
a = √[（5+2√2）/2]
那么BC = √（5+2√2）

cos∠BPC = (BC² - BP² - CP² ) / （-2·BP·CP）
=(5+2√2 - 1 - 4) / 4 = - √2 / 2

所以∠BPC=Artcos （-√2 / 2）= 135°

Answer 2

以C为顶点,将△CPA旋转90°,使得B与A重合,P移动后为P'.连PP'.
则CP=CP',AP'=BP,∠PCP'=90°.
∴△PCP'为等腰直角三角形,PP'=2√2,∠CPP'=45°.
易验证 PP'^2+P‘B^2=P‘B^2,所以∠BPP’=90°.
从而∠BPC=∠BPP'+∠CPP'=45°+90°=135°