Question

初二数学题，先给100分，回答好的再追加悬赏！

1.如图1，ad平行bc，ad=bc，ae=cf，求证de平行bf
2.如图2，已知bc⊥ad，ac=cb，cd=ce，且c在ad上，ae的延长线与bd交于f，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程。
3.如图3，ad⊥bc，bd=dc，点c在ae的垂直平分线上，ab、ac、ce的长度有什么关系？ab+bd与de有什么关系？
4.如图4，ab=ac，mb=mc，直线am是线段bc的垂直平分线吗？

Answer 1

1.先分别连接DF,BE.
（要证明DE//BF,可先证出四边形DFBE为平行四边形，这就要从另外的两边DF和BE着手,这要用到全等三角形。）
因为AD//BC且AD=BC
所以四边形ABCD为平行四边形
故DC=BA。∠DCA=∠BAC(平行四边形的性质)
所以∠DCF=∠BAE(补角也相等)
又已知AE=CF
所以三角形DCF全等于三角形BAE(边角边)
故DF=BE,∠CFD=∠AEB(对应边和角分别相等)
在四边形DFBE中已证∠CFD=∠AEB
所以DF//BE(内错角相等，两直线平行)
又已证DF=BE
所以四边形DFBE为平行四边形
DE//BF得证。

2.这对全等三角形是ACE和BCD
已知BC⊥AD
所以∠ACB=∠BCD
已知AC=BC,CE=CD(要看清它们，CE属于立着的三角形，CD和CB属于横着的三角形)
所以三角形ACE全等于三角形BCD(边角边)

3.(应该是图4吧)已知AD⊥BC
所以∠ADB=∠ADC(都是90度)
又已知BD=DC,AD=AD
所以三角形ADB全等于三角形ADC
故AB=AC(对应边)
而点C在AE的垂直平分线上
有AC=CE(线段垂直平分线上的点到线段的两端点的距离相等)
所以AB=AC=CE
既然AB=CE,BD=DC.
就有AB+BD=DC+CE.=DE

4.(是图3吧)将AM的延长线与BC的交点定为D
已知AB=AC,MB=MC,AM=AM
所以三角形ABM全等于三角形ACM(边边边)
故∠AMB=∠AMC（对应角）
所以∠BMD=∠CMD（补角也相等）
在等腰三角形MBC中（已知MB=MC,故等腰），∠MBD=∠MCD(等腰对等角）
而MD为三角形BMD与三角形CMD的公共边
所以三角形BMD全等于三角形CMD
故BD=CD,即D点为BC的中点。
根据等腰三角形三线合一（中线，高，垂线）的性质知AM是线段BC的垂直平分线。

可能证明过程中说得有点繁琐，请耐心与原图对照。

Answer 2

因为AD平行且等于BC
所以角DAE=角BCF
AE=BF
所以三角形ADE和CBF全等
所以角AED=角BFC
所以他们的邻补角相等
所以角DEF=角BFE
所以DE平行BF

http://zhidao.baidu.com/question/144755722.html

根据等腰等腰直角三角形的性质可得到AC=BC，∠ACE=∠BCD=90°，CE=CE，从而利用SAS判定△ACE≌△BCD．
解：△ACE≌△BCD．
证明：∵△ACB、△ECD都是等腰直角三角形，
∴∠ACE=∠BCD=90°，AC=BC，CE=CE
在△DCB和△ECA中，
CE=CD
∠DCB=∠ACB
CB=AC
∴△ACE≌△BCD

http://zhidao.baidu.com/question/226651036.html?an=0&si=1

AB＋BD>DE
证明：由题意知AD垂直平分BC，C在AE垂直平分线上，所以有AB=AC=CE,
BD=DC
又由三角形定则可知DC+CE>DE
所以有AB＋BD>DE

http://zhidao.baidu.com/question/189677063.html?an=0&si=2
这个不能贴图的说
是可以证明AM是线段BC的垂直平分线
因为AB=AC，因此点A在BC的垂直平分线上
同理可的点M在BC的垂直平分线上
然后根据两点确定一条直线可知AM是BC的垂直平分线

http://zhidao.baidu.com/question/69717629.html?an=0&si=1

Answer 3

http://zhidao.baidu.com/question/144755722.html

Answer 4

1.答：因为 ad//bc且ad=bc 所以 四边形abcd是平行四边形 所以ab=cd且角acd=角bac 因为ae=cf 所以ce=af 由边角边知 三角形cde与三角形abf全等 所以de=cf且角cde=角afb 所以 de//bf