Question

设数列an的前n项和为Sn，已知a1=1,Sn=n *an-n(n-1)(n=1,2,3...)

（1）求证：数列an为等差数列，并写出an关于n的表达式
（2）若数列{1/an*a(n+1) 的前n项和为Tn,问满足Tn>100/209的最小正整数n是多少？

Answer 1

由S(n)=n*a(n) -n(n-1),
S(n+1)=(n+1)*a(n+1) -(n+1)n
两式相减可得a(n+1) = (n+1)a(n+1) - n*a(n) -2n
所以a(n+1)=a(n)+2, 即{a(n)}是公差为2的等差数列, a(n)=a(1)+2*(n-1)=2n-1.

(2)T(n) = 1/(1*3) + 1/(3*5) + ... + 1/((2n-1)(2n+1))
= [1-1/3 + 1/3 -1/5 + ... + 1/(2n-1) - 1/(2n+1)]/2
=[1-1/(2n+1)]/2
=n/(2n+1)
由T(n) = n/(2n+1) >100/209, 得n>100/9, 所以最小的正整数n=12.