Question

求解方向导数中的内法线方向问题。

如图，红色字体中，内法线方向是怎么求出的，求解，谢谢！

Answer 1

设封闭曲线的方程为 F(x,y) = 0

那么法向量可以为 n = {∂F/∂x, ∂F/∂y}

特别的，若曲线的方程为 y = y(x)，即 y-y(x) = 0

那么法向量可以为 n = ±{-dy/dx, 1}

“+”表示法向量与y轴正向夹角不大于π/2，“-”则反之

当需要求封闭曲线内法线方向的时候就必须画图了

因为“+”并不是表示外，“-”也不表示内

根据图像才能较直观的看出内法线是朝上还是朝下

请见下图，图1里内法线是朝下的，所以取“-”（这个即题目里的情况）

而图2里内法线是朝上的，所以取“+”

追问

特别的，若曲线的方程为 y = y(x)，即 y-y(x) = 0？
曲线的方程不是为 F(x,y) = (x^2/a^2)+(y^2/b^2)-1=0?

追答

前面的一堆话都是理论
现在就看看怎么用理论求解问题咯：

法一，用上述理论
闭曲线方程为：F(x,y) = (x²/a²)+(y²/b²)-1=0 （这个就不是所谓的特殊形式y=y(x)）
法向量可以为 n = {∂F/∂x, ∂F/∂y} = {2x/a²,2y/b²}
将点{a/√2,b/√2}带入：n = {√2/a,√2/b}
乘上一个系数 ab/√2 使结果好看一些，即n = {b,a}

法二，通过切线与法线垂直
切线的斜率为 k = -b/a
设法线的斜率为 k’
那么 kk’ = -1 , 得出 k’ = a/b
那么法线的方向 n = {1,k’} = {1,a/b}
乘上一个系数 b 使结果好看一些，即 n = {b,a}

(两个方法的最后一步仅仅是使结果好看一些)

现在求出的只是法线方向，是否要添加负号使它成为内法线就要画图
这时通过图形判断到底要不要加上一个负号
图画出来就是上图第一幅图的样子
再由点{a/√2,b/√2}在第一象限，内法线应该朝下左下方
即说明n的x,y分量都要小于零，而b,a都大于零，于是要添加一个负号，即n = {-b,-a}
此时就求得了最终结果

（实际上 n = k{-b,-a },k>0 的向量都可以作为你要求的内法线方向，只是{-b,-a}好看一些）

追问

好的。

Answer 2

考虑点(a,b)， a>0,b>0
该点处的切线斜率： k= - b/a, 法线的斜率为 k2 = a/b
法线的方向向量可以取为 ±(b,a)
确定内法线的方向：点(a,b)， a>0,b>0 ，则内法线必是指向坐标原点的，故取为 (-b,-a)。
当a,b是其他值时，内法线也取为 (-b,-a)。

追问

法线的方向向量可以取为 ±(b,a)？

追答

内外法线， 可以取方向向量为： k(b,a), k>0 或 k<0
现在你要求的是内法线 ……

追问

就是参数b和a怎么出来的？

追答

已经求出法线的斜率为 a/b，设法线与向量OQ平行，
则取Q（kb, ka）

Answer 3