Question

函数f（x）=ax^2+bx+1(a,b为实数)，x为实数。当x大于0时，F（x）=f(x)，当x小于0时，F(X)= -f（x）

已知函数f（x）=ax^2+bx+1(a,b为实数)，x为实数。当x大于0时，F（x）=f(x)，当x小于0时，F(X)= -f（x）。
1、若不等式f(x)大于4的解集为x小于-3或x大于1，求F(x)的表达式。
2、在第一题的情况下，当x大于等于-1小于等于1时，g(x)=f(x)-kx是单调函数，求实数k的取值范围
3、设m*n小于0，m+n大于0，a大于0且f(x)为偶函数，判断F(m)+F(n)能否大于0

Answer 1

1、可写出解集为x小于-3或x大于1的不等式的基本形式 c(x+3)(x-1)＞0 其中c＞0
f(x)＞4 即ax^2+bx-3＞0 两式对比，可得：a=1 b=2 c=1
所以f（x）=x^2+2x+1
所以F（x）=x^2+2x+1 （x＞0）
F（x）=-x^2-2x-1（x＜0）
2、f（x）=x^2+2x+1
则g(x)=x^2+(2-k)x+1 对称轴为x=k/2-1
已知g(x)在[-1,1]上单调 则可分为两种情况：（建议楼主画个草图）
若单调递增，则区间 [-1,1]在对称轴右侧，即k/2-1≤-1 k≤0
若单调递减，则区间 [-1,1]在对称轴左侧，即k/2-1≥1 k≥4
综上，k取值范围为 k≤0或k≥4
3、由已知条件可知，m n 中有一个大于零，一个小于零。假设m＞0 n＜0，且m＞|n|
因为f（x）=f（-x），可得b=0 即f（x）=ax^2+1
所以F(m)+F(n)=f(m)-f(n)=am^2-an^2=a(m+n)(m-n)
因为a＞0 m+n＞0 m-n＞0 所以F(m)+F(n)＞0
望采纳O(∩_∩)O~

Answer 2

1. 由已知可得-3,1时方程ax^2+bx+1=0的两个根，则可解得a=-1/3, b=-2/3, f(x)=(3-2x-x^2)/3.
所以当x>0时，F(x)=(3-2x-x^2)/3; x<0时，F(x)=(x^2+2x-3)/3.

2. g(x)=f(x)-kx , 则g'(x)=f'(x)-k = -2x/3 -2/3 -k, 由g'(x)=0, 解得x=-1 - 3k/2.
因为-1≤x≤1时，g(x)为单调函数，所以-1 - 3k/2≤-1或-1 - 3k/2≥1, 解得k≥0, 或k≤-4/3.

3. 因为f(x)=ax^2+bx+1为偶函数，所以b=0, 则f(x)=ax^2+1.
因为m*n<0, 所以m,n为一正一负，不妨设m>0, n<0, 则
F(m)+F(n)=a*m^2 +1 - a*n^2 -1 = a(m-n)(m+n)>0
所以F(m)+F(n)>0.

Answer 3

（1） f(x)-4=0的解为-3和1，可以解得f(x)=x^2+2x+1=（x+1）^2
当x>0时，F（x）=(x+1)^2;当x<0时，F（x）=-（x+1）^2
(2) g(x)=x^2+(2-k)x+1,-2a/b=1/(k-2),由题意，1/(k-2)大于等于1或小于等于-1，
解得1<=k<=3
(3) 偶函数=》f（x）=ax^2+1
设m>0,n<0,F(m)+F(n)=a(m+n)(m-n)
所以当m>o,n<0时，F(m)+F(n)可以大于0

Answer 4

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