Question

已知函数f(x)=x^3-3X,若过点A(0,16)的直线方程为y=ax+16,与曲线y=f(x)相切，那实数a的值？要过程

Answer 1

由条件可知，A点不在函数f(x)上，但可判定，过A点必有一条直线与函数f(x)相切。
对函数求导：(f(x)) ́=3x^2-3。
设切点为（r，r^3-3r），则切线方程为：y-(r^3-3r)=(3x^2-3)(x-r)，化简得：
y=3x^3-3rx^2-3x+r^3。把点A坐标带入：16=r^3，所以可求得r，由此可求出切点坐标（因为不支持开三次方的显示，可以自己算一下，不用求出最简结果，带入直线方程便可得到a）。
将切点带入直线方程可求出最终结果：a=3。

Answer 2

y=ax+16 导函数为y=a
f(x)=x^3-3X 导函数为f '(x)=3x^2-3
设切点为(x0,y0)
x0^3-3x0=ax0+16
a=3x0^2-3
联立求x0
再用两点式

追问

再详细点，可以吗？

追答

不好意思，吃了个饭
解得x0=-2 y0=-2 a=9
原理：两函数都过(x0,y0) 且在(x0,y0)的切线斜率相同
如果只求a，那么给A点是无用的，迷惑人 因为A是在y=ax+16上，但不一定在y=x^3-3x上
所以楼上做法是错误的

注意算的时候把变量a替换掉，而不是开三次方

追问

可是求得答案是9，那如果我要写，我该从第一步怎样老师写？

追答

你们学过导数吧？
相切其定义就是几个函数过同一点，且在这一点导数相同，那就联立方程组解，
这就没什么可挑剔了，有理有据啊
反正大学里都这样做

Answer 3

设切点为（x′,ax′＋16）(切点在直线上)
带入f(x)中得x′³-3x′＝ax′＋16 (1)
f(x)求导3x′²－3=ax′ ﹙2﹚
由1、2得x′=-2
a=-9／2

追问

答案是9

Answer 4

当x^3-3X=ax+16时，Δ=0即可

追问

要过程