Question

双曲线x^2\4-y^2\b^2=1(b属于N)F1,F2,P分别是焦点和双曲线上的点且PF1,F1F2,PF2成等比数列,|PF2|＜4，

求该曲线？

Answer 1

解: 设PF1=m ,PF2=n ,
由题意得,C=√b^2+4 ∴|F1F2|=2√b^2+4
又, PF1,F1F2,PF2成等比数列 ∴|F1F2|^2 =PF1*PF2
即m*n=|F1F2|^2=4(b^2+4)①
由双曲线定义得,m-n=2a=4②
由①②式,得n^2+4n-4b^2 -16=0
X=(-4±√[16+4(4b^2+16)]/2
负的舍去~~ 即n=X=-4+√[16+4(4b^2+16)]/2=-2+2√(b^2+5)
当X=4时,b=2 又n=PF2|＜4,b∈N ∴b=1
所以该双曲线方程为:x^2\4-y^2=1

追问

谢谢，若把,|PF2|＜4改为OP<5怎么做？

追答

方法其实也差不多~~

设,P(x,y) 由焦半径公式得,|PF2|=|eX-2|
∴-2+2√(b^2+5)=|eX-2|　①
将其化简成用b来表示X,(计算起来有点复杂~.~)
又 |OP|=√x^2+y^2=√x^2+x^2*b^2/4-b^2②

联合起来①②式,再加上|OP|<5,与b∈N 就可以求出b来了~~~

追问

有这样一种方法：解：设F1(－c,0）、F2(c,0)、P(x,y),则
|PF1|^2+|PF2|^2=2(|PO|^2+|F1O|^2)＜2(52+c2),
即|PF1|2+|PF2|2＜50+2c2,
又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|－|PF2|)2+2|PF1|•|PF2|,
依双曲线定义，有|PF1|－|PF2|=4,
依已知条件有|PF1|•|PF2|=|F1F2|2=4c2
∴16+8c2＜50+2c2,∴c2＜ ,
又∵c2=4+b2＜ ,∴b2＜ ,∴b2=1.

为什么|PF1|^2+|PF2|^2=2(|PO|^2+|F1O|^2)？？？？？

追答

|OP|^2=x^2+y^2 , |F1O|=c^2 ∴2(|PO|^2+|F1O|^2)=2(x^2+y^2+c^2)
|PF1|^2+|PF2|^2=[(x-c)^2+y^2+(x+c)^2+y^2)=2(x^2+y^2+c^2)
∴|PF1|^2+|PF2|^2=2(|PO|^2+|F1O|^2)