Question

不等式2的n次方>n的4次方对哪些整数n成立？证明你的结论。

要过程～谁不知道是1，0不是正数！
还有，题眼是 证明！！！不会的别占位，谢谢！

Answer 1

你只说n为整数啊，又没说是正整数，是整数都可以证明的嘛

n为整数，可分为如下几种情况进行讨论

（1）
当n=<-1时，-n>=1>0，则2^(-n)>=2^1=2>0，由此可得：0<1/[2^(-n)]=<1/2，即：2^n=<1/2 ……（这一步也可由函数f(x)=2^x是增函数来获得）
而由n=<-1易知|n|>=1，n^4=|n|^4>=1^4=1
所以此时：2^n<n^4

（2）
当n=0时，2^0=1，0^4=0，所以此时：2^n>n^4
当n=1时，2^1=2，1^4=1，所以此时：2^n>n^4

（3）
当n=2时，2^2=4，2^4=16，所以此时：2^n<n^4
当n=3时，2^3=8，3^4=81，所以此时：2^n<n^4
当n=4时，2^4=16，4^4=256，所以此时：2^n<n^4
当n=5时，2^5=32，5^4=625，所以此时：2^n<n^4
当n=6时，2^6=64，6^4=1296，所以此时：2^n<n^4
当n=7时，2^7=128，7^4=2401��源耸保?^n<n^4
当n=8时，2^8=256，8^4=4096，所以此时：2^n<n^4
当n=9时，2^9=512，9^4=6561，所以此时：2^n<n^4
当n=10时，2^10=1024，10^4=10000，所以此时：2^n<n^4
当n=11时，2^11=2048，11^4=14641，所以此时：2^n<n^4
当n=12时，2^12=4096，12^4=20736，所以此时：2^n<n^4
当n=13时，2^13=8192，13^4=28561，所以此时：2^n<n^4
当n=14时，2^14=16384，14^4=38416，所以此时：2^n<n^4
当n=15时，2^15=32768，15^4=50625，所以此时：2^n<n^4

（4）
当n=16时，2^16=65536，16^4=65536，所以此时：2^n=n^4

（5）
当n=17时，2^17=131072，17^4=83521，所以此时：2^n>n^4
假设当n=k（k>=18，k为整数）时，不等式：2^k>k^4也成立
则当n=k+1时，由k>=18可知k>17>1，k^2>1，k^3>1，因此有：
2^(k+1)
=2*2^k
>2*k^4 …………（因为2^k>k^4）
=k^4+k^4
=k^4+k*k^3
>k^4+17*k^3 …………（因为k>17）
=k^4+4*k^3+6*k^3+4*k^3+3*k^3
>k^4+4*k^3+6*k^2+4*k+3 …………（因为k>1，k^2>1，k^3>1）
>k^4+4*k^3+6*k^2+4*k+1
=(k+1)^4
即当n=k时，不等式：2^k>k^4成立可推出：
当n=k+1时，不等式：2^(k+1)>(k+1)^4也成立
因此由数学归纳法可知，当n>=17时，不等式：2^n>n^4成立

综合上述所有讨论结果，可知：
当n=0，n=1，或者n>=17（n为整数）时，不等式：2^n>n^4成立

当n=<-1（n为整数），或者n为2到15之间的整数（包含2与15）时，不等式：2^n<n^4成立

当n=16时，2^n=n^4

楼上的，哪怕是正整数，n也不仅仅是1啊，还有说指数大的数比底数大的数要大的，看来对指数函数和幂函数也没学会多少………………
还有纯粹瞎证明的，都不知道自己错在哪里………………

Answer 2

2^x > x^4
两边取自然对数
ln(2^x) > ln(x^4)
xln2 > 4lnx
(lnx)/x <(ln2)/4 < (ln2)/2

讨论函数f(x)=(lnx)/x的增减性,求其导函数为f'(x)=[1-ln(x)]/[x^2]
当0 ≤ x < e 时,f'(x) > 0,所以此时f(x)为单调增.

由上f(x) < f(2)
有0 ≤ x < 2

故n为[0,2)上的整数(正数?楼主没说明白...)
证毕.

Answer 3

指数大的数比底数大的数要大，不需要证明了.

Answer 4

对任意负整数都不成立，2^n<n^4，这个不需要证明了吧？前者小于1，后者等于大于1

对0和1，成立，这个是观察得来。

现在从2开始看，2不成立，然后用归纳法，也就是设2^n<n^4，然后证2^(n+1)<(n+1)^4,这个很容易证明，因为2^(n+1)比2^n只是乘以2，而（n+1)^4则比n^4多了不只2倍，所以是符合的。因此也就得出，任意大于等于2的整数，不等式也不成立。

最后，就只剩0和1

Answer 5

只有0和1（过程略）