Question

如图,平行四边形ABCD中,AE⊥BC,CF⊥AD,M,N分别是AB,CD的中点

求证：MN与EF互相平分

Answer 1

设MN与AE,EF,FC相交与点P,G,Q,
由于M，N是AC,CD的中点,可以得到MN平行AD平行BC
三角形ABE与三角形AMP为相似三角形，MP平行BE;则AM:MB=AP:PE=1:1(M是AB的中点）
得到AP=PE
三角形EPG与三角形EAF为相似三角形,PG平行AF;则EP:PA=EG:GF=1:1(AP=PE)
得到EG=FG,从而证明了点G平分线段EF
由角角边条件得来,一个对顶角(角EGP与角FGQ)，一对直角加一条斜边EG=FG;可以证明三角形EPG与三角形FGQ是完全相等的三角形;则PG=QG
角CNQ加角DNQ(互补)=角AMP加角DNM(平行线的内角和=180度)=180度,
得到角AMP=角CNQ;再加上一对直角和斜片CN=AM,角角边条件证明出
三角形AMP全等于三角形CNQ,得到MP=NQ
MP+PG=NQ+GQ;MG=NG,从而证明了点G平分线段MN

Answer 2

MN与AE EF FC相交的点分别为G O H
因为M,N分别是AB,CD的中点
所以MN//AD//BC
所以 G O H 分别是AE EF FC的中点（用相似三角形对应边成比例可以证得）
即得EO=FO
因为MO NO分别是梯形的中位线
所以MO=1/2(AF+BE) NO=1/2(CE+FD)
因为AE⊥BC,CF⊥AD
所以AF=CE
所以BE=FD
所以MO=NO
所以MN与EF互相平分

Answer 3

连ME.EN.NF.FM,证明MEFN为平行四边形就可以了。