Question

数学题！！！

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5倍根号3，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

Answer 1

(1)点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,则AE的长为t
因为∠C=30°，则2DF=CD，而CD的值为2t,则DF=t=AE
(2)当其为菱形是AD=DF，AC=10
则10-2t=t,则此时t=10/3,AB=5>10/3,∠ADF=120°,则其情况成立
(3)△DEF为直角三角形时，E要到达B点，则要过5秒，而过5秒后，D到了A点，则构不成三角形
若∠EDF为90°时，DE//BC，DF=BE=AE，则AE为2.5，则此时t=2.5s

Answer 2

1）在时间t时，CD=2t,AE=t
因为DF⊥BC,AB⊥BC,
所以AB平行于DF
在直角三角形△CFD中，∠C=30°，∠DFC＝90°，CD=2t
故DF＝1/2CD=t，
所以AE=DF=t，
2）因为AE=DF=t，DF⊥BC,AB⊥BC，AE平行于DF
AE与DF平行且相等，他们是平行四边形。
当四边形AEFD能够成为菱形时，
AE=AD=DF,
在时间t时，CD=2t,AE=t
在菱形AEFD中，AE=AD=t
在△ABC中，∠B=90°，BC=5倍根号3，∠C=30°．
所以,BC=5,AC=10
AD=t,DC=2t,而AC=AD+DC=t+2t=10
解得t=10/3

3)当∠DEF为直角时，DF⊥ED
且DF⊥BC
所以DE与BC相互垂直并平行
而∠B=90°，AB与DF平行
故BEDF是矩形，
所以DF=BE,而AE=DF
所以DF=BE=AEt=t
而AB=AE+EB=t+t=5,
解得t=5/2,