Question

非齐次线性方程组解的问题

设AX=b为n元线性方程组，其导出组为AX=0，r(A)=r，η是AX=b的一个解，
ζ1、 ζ2、....ζn-r 是AX=0的一个基础解系。如何证明η、ζ1、 ζ2、....ζn-r线性无关；
AX=b的全部解的极大无关组是什么。

Answer 1

证明: 设 kη+k1ζ1+k2ζ2+...+kn-rζn-r = 0
等式两边左乘A, 由 Aη=b, Aζi = 0 得
kb = 0.
因为 AX=b 是非齐次线性方程组, 故 b≠0
所以 k = 0.
所以 k1ζ1+k2ζ2+...+kn-rζn-r = 0
由 ζ1、 ζ2、....ζn-r 是AX=0的一个基础解系
所以 k1=k2=...=kn-r = 0.
所以 k=k1=k2=...=kn-r = 0.
所以 η,ζ1,ζ2,...,ζn-r线性无关.

设ξ是 AX=b 的任一解
则ξ可表示为η,ζ1,ζ2,...,ζn-r的线性组合
ξ=η+k1ζ1+k2ζ2+...+kn-rζn-r
所以 η,ζ1,ζ2,...,ζn-r 是 AX=b 的全部解的一个极大无关组.