Question

急！！~关于高一数学恒成立问题

1.若x²-2ax+a＞0对于全体实数恒成立，求a的范围
2.4x+m/x²-2x+3<2对于全体实数恒成立，求m的取值范围

能做多少是多少，能全做最好了 我会加分的 要有解题过程哦~

Answer 1

(1) y=x²-2ax+a 恒大于0，
因开口向上，故△=(-2a)²-4a<0，4a²-4a<0，0<a<1。

(2) (4x+m)/(x²-2x+3)-2<0
[4x+m-2(x²-2x+3)]/(x²-2x+3)<0
(-2x²+8x+m-6)/(x²-2x+3)<0
即(2x²-8x+6-m)/(x²-2x+3)>0对于全体实数恒成立
分母：x²-2x+3=(x-1)²+2>0
所以，2x²-8x+6-m>0 对于全体实数恒成立
则方程2x²-8x+6-m=0没有实数根
所以△=(-8)²-4*2*(6-m)<0
64-48+8m<0
得：m<-2。

追问

为什么△要小于零呢？

追答

△>0，表明方程ax²+bx+c=0有两个根（两个解），也就是曲线穿过x轴两次。
△=0，表明方程ax²+bx+c=0有一个根（一个解），也就是曲线穿过x轴一次（与x轴相切）。
△<0，表明方程ax²+bx+c=0没有解（曲线不穿过x轴）。

因为方程的a（二次项系数）为正，即开口向上。恒大于0，即方程无解。故△<0。
你自己画一个图吧，还是比较好理解的。

追问

谢谢 我明白了
所以，2x²-8x+6-m>0 对于全体实数恒成立
则方程2x²-8x+6-m=0没有实数根
这一步什么意思 可以解释一下吗 我会加分的

追答

这个貌似是概念问题。
这样解释吧，a>0的情况下，ax²+bx+c>0恒成立，就等于是说ax²+bx+c=0恒不成立，恒无解，所以△0，△0恒成立完全等价。（充要条件）

Answer 2

1.若x²-2ax+a＞0对于全体实数恒成立
则方程x²-2ax+a=0没有实数根
所以判别式=(-2a)²-4a<0
4a(a-1)<0
解得 0<a<1
2.(4x+m)/(x²-2x+3)-2<0
[4x+m-2(x²-2x+3)]/(x²-2x+3)<0
(-2x²+8x+m-6)/(x²-2x+3)<0
即(2x²-8x+6-m)/(x²-2x+3)>0对于全体实数恒成立
因x²-2x+3=(x-1)²+2≥2>0
所以只需2x²-8x+6-m>0 对于全体实数恒成立即可
同1题一样，则方程2x²-8x+6-m=0没有实数根
所以判别式=(-8)²-4*2*(6-m)<0
64-48+8m<0
解得 m<-2
希望能帮到你O(∩_∩)O

追问

同1题一样，则方程2x²-8x+6-m=0没有实数根
为什么没有实数根？

Answer 3

1,x²-2ax+a＞0,二次项系数大于零,函数图像开口向上,
对于全体实数恒成立,则满足△<0即可,表示与X轴无交点
△=(-2a)²-4*1*a
=4a²-4a
=4a(a-1)<0
得0<a<1

2.题目有点不清楚,我当(4x+m)/(x²-2x+3)<2来做,如果不对请追问解释下,谢谢
(4x+m)/(x²-2x+3)<2
x²-2x+3=( x-1)²+2>0
不等式化为4x+m<2(x²-2x+3)
2x²-8x+6-m>0
二次项系数大于零,函数图像开口向上,
对于全体实数恒成立,则满足△<0即可,表示与X轴无交点
△=(-8)²-4*2*(6-m)=16+8m<0
解得m<-2

追问

为什么△要小于零呢？

追答

你好,才看到追问,
△小于零表示函数与X轴没有交点,等于0表示只有一个交点,大于0表示有两个交点,△小于零,函数与X轴没有交点函数开口向上,这样的二次函数都在X轴之上
例如:
函数y=x²-2x-3,
△=4+12=16>0
则表示函数y=x²-2x-3,开口向上与x轴有两个交点,交点分别是(-1,0)(3,0),
函数y=x²-2x+3,
△=4-12=-80恒成立

Answer 4

1.若x²-2ax+a＞0对于全体实数恒成立，求a的范围
判别式小于零就行
（-2a）^2-4a<0
4a^2-4a<0
4a(a-1)<0
0<a<1
2.4x+m/x²-2x+3<2对于全体实数恒成立，求m的取值范围
因为x²-2x+3=x^2-2x+1+2=(x-1)^2+2>0
两边同时乘以x²-2x+3，得
4x*(x²-2x+3)+m<2(x²-2x+3)
m<2(x²-2x+3)-4x*(x²-2x+3)设2(x²-2x+3)-4x*(x²-2x+3)=F(x)
F'(x)=-12x^2+20x-16
F(x)可以取任意实数。因此找不出这样的m
m的取值范围是空集

追问

为什么△要小于零呢？

追答

小于零就与横轴没有交点，开口向上，函数值就恒大于零

Answer 5

1)若x²-2ax+a＞0对于全体实数恒成立
Δ=4a²-4a<0，即a(a-1)<0
∴0<a<1

2)(4x+m)/(x²-2x+3)-2<0
[4x+m-2(x²-2x+3)]/(x²-2x+3)<0
(-2x²+8x+m-6)/(x²-2x+3)<0，即(2x²-8x+6-m)/(x²-2x+3)>0对于全体实数恒成立
∵x²-2x+3=(x-1)²+2≥2>0
∴只需2x²-8x+6-m>0 对于全体实数恒成立即可
Δ=(-8)²-4*2*(6-m)<0
64-48+8m<0
解得 m<-2

移项得.4x+m/x²-2x+1<0
化解得4x+m/x²-2x+1=2x+1+m/x²=(2x³+x²+m)/x²<0
∵x²>0恒成立,
∴只需要2x³+x²+m<0恒成立，即等式成立,
令f(x)=2x³+x²
对f(x)求导得f ' (x)=6x²+2x=2x(3x+1)
当x<-1/3时，f ' (x)=2x(3x+1)>0f(x)单调递增
当-1/3<x<0时，f ' (x)=2x(3x+1)<0，f(x)单调递减
当x>0 时，f ' (x)=2x(3x+1)>0，f(x)单调递增
∴在x=-1/3处，f(x)取极大值f(-1/3)=1/27
在x=0处，f(x)取极小值f(0)=0
所以需要2x³+x²+m<0恒成立，即x³+x²<-m恒成立
-m>f(-1/3)恒成立，-m>1/27,
∴m<-1/27

追问

为什么△要小于零呢？

Answer 6

1 解：可以看作函数Y=x²-2ax+a的图像在X轴的上面，即判别式=4a²-4a<0
所以a的取值范围为0<a<1
2 解：化简，得m/x²+2x+1<0,，即m/x²<-2X-1，则
Y=m/x²恒在Y=-2X-1的图像下面,m 无解