Question

在△ABC中,已知a平方tanB=b平方tanA,试判断△ABC的形状

Answer 1

我这里有个几何方法，代数方法让我先研究研究
过点C作CD垂直AB于点D
则a平方tanB
=（BD^2+CD^2）*CD/BC
b平方tanA
=(AD^2+CD^2)*CD/AC
所以等式可以化成
AC(BD^2+CD^2）=(AD^2+CD^2)*BC

CD^2(AC-BC)=AD^2-BD^2=AC^2-BC^2=(AC+BC)(AC-BC)
当AC-BC=0时，为等腰三角形
当AC-BC≠0时，CD^2=AC+BC
设AC=x，BD=y
b^2-x^2=a^2-y^2=a+b
a^2+b^2=a+b+x^2+y^2
显然a+b>2xy
所以(a^2+b^2)>(x+y)^2
综上为等腰三角形或者锐角三角形