Question

一道比较难的几何题

唉，是道好题，可惜苦苦思考不得其解。
如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，I1、I2分别为△ABD、△ACD的内心，直线I1I2分别交AB、AC于点E、F，且AE=AF.
求证：∠BAC=90°.
不一定非要写出全过程，给我点点拨也好~
没到二级，图我传不上来啊，不好意思。但是大概能想象出来吧？A是所求证的直角三角形的直角顶点，BC是斜边，点B在左侧，C在右侧。

Answer 1

设EF与AD交点为G，△ABD、△ACD的内心半径分别为r1和r2，∠BAD为∠1，∠CAD为∠2；
S△AGE=(AE*AGsin∠1)/2=r1*(AE+AG)/2，S△AGF=(AF*AGsin∠2)/2=r2*(AF+AG)/2，以上两式相除得：(AEsin∠1)/(AFsin∠2)=[r1*(AE+AG)]/[r2*(AF+AG)]，∵AE=AF，∴sin∠1/sin∠2=r1/r2┄┄┄①；S△ABD=r1(AB+BD+AD)/2=(AB*ADsin∠1)/2，S△ACD=r2(AC+DC+AD)/2=AC*ADsin∠2，以上两式相除得：[r1(AB+BD+AD)]/[r2(AC+DC+AD)]=ABsin∠1/ACsin∠2┄┄┄②；将①式代入②式得：[r1(AB+BD+AD)]/[r2(AC+DC+AD)]=ABr1/ACr2，
(AB+BD+AD)/(AC+DC+AD)=AB/AC，(BD+AD)/(DC+AD)=AB/AC，上式两边平方得：[BD²+AD²+2BD*AD]/[DC²+AD²+2AD*DC]=AB²/AC²，∵AB²=BD²+AD²，AC²=DC²+AD²，∴上式整理为：2BD*AD/2AD*DC=AB²/AC²，BD/DC=AB²/AC²，(BD/AB)/(DC/AC)=AB/AC，∵sin∠1=BD/AB，sin∠2=DC/AC，∴上式整理为：sin∠1/sin∠2=AB/AC┄┄┄③；cos∠1=AD/AB，cos∠2=AD/AC，cos∠1/cos∠2=AC/AB┄┄┄④；将③式乘以④式得：(sin∠1cos∠1)/(sin∠2cos∠2)=1，sin2∠1=sin2∠2，则∠1=∠2或2∠1=π-2∠2，∠1+∠2=π/2；综上当△ABC不为等腰△，即∠B≠∠C时，∠BAC=90°。

Answer 2

请问你是高中生？

追问

怎么？要用解析几何我也不介意，但是那就没什么意思了。要用平几做出来还是感觉好点。

Answer 3

很简单，从等边对等角来思考

追问

没那么简单吧。

Answer 4

等下啊，我已经开始想啦

Answer 5

四边形ABCD中
由切点弦及同弦所对的圆周角
知△B3D2A∽△C3A2D
∴(B3A)/(DC3)=(D2A)/(DA2)=(AC2)/(DA2)
又∵(AC2)/(AE3)=(siC4∠AE3C2)/(siC4∠AC2E3)=(siC4∠DE3A2)/(siC4∠DA2E3)=(DA2)/(E3D)