一道比较难的几何题
唉,是道好题,可惜苦苦思考不得其解。如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,I1、I2分别为△ABD、△ACD的内心,直线I1I2分别交AB、AC于点E、F,且AE=AF.求...
唉,是道好题,可惜苦苦思考不得其解。
如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,I1、I2分别为△ABD、△ACD的内心,直线I1I2分别交AB、AC于点E、F,且AE=AF.
求证:∠BAC=90°.
不一定非要写出全过程,给我点点拨也好~
没到二级,图我传不上来啊,不好意思。但是大概能想象出来吧?A是所求证的直角三角形的直角顶点,BC是斜边,点B在左侧,C在右侧。 展开
如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,I1、I2分别为△ABD、△ACD的内心,直线I1I2分别交AB、AC于点E、F,且AE=AF.
求证:∠BAC=90°.
不一定非要写出全过程,给我点点拨也好~
没到二级,图我传不上来啊,不好意思。但是大概能想象出来吧?A是所求证的直角三角形的直角顶点,BC是斜边,点B在左侧,C在右侧。 展开
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设EF与AD交点为G,△ABD、△ACD的内心半径分别为r1和r2,∠BAD为∠1,∠CAD为∠2;
S△AGE=(AE*AGsin∠1)/2=r1*(AE+AG)/2,S△AGF=(AF*AGsin∠2)/2=r2*(AF+AG)/2,以上两式相除得:(AEsin∠1)/(AFsin∠2)=[r1*(AE+AG)]/[r2*(AF+AG)],∵AE=AF,∴sin∠1/sin∠2=r1/r2┄┄┄①;S△ABD=r1(AB+BD+AD)/2=(AB*ADsin∠1)/2,S△ACD=r2(AC+DC+AD)/2=AC*ADsin∠2,以上两式相除得:[r1(AB+BD+AD)]/[r2(AC+DC+AD)]=ABsin∠1/ACsin∠2┄┄┄②;将①式代入②式得:[r1(AB+BD+AD)]/[r2(AC+DC+AD)]=ABr1/ACr2,
(AB+BD+AD)/(AC+DC+AD)=AB/AC,(BD+AD)/(DC+AD)=AB/AC,上式两边平方得:[BD²+AD²+2BD*AD]/[DC²+AD²+2AD*DC]=AB²/AC²,∵AB²=BD²+AD²,AC²=DC²+AD²,∴上式整理为:2BD*AD/2AD*DC=AB²/AC²,BD/DC=AB²/AC²,(BD/AB)/(DC/AC)=AB/AC,∵sin∠1=BD/AB,sin∠2=DC/AC,∴上式整理为:sin∠1/sin∠2=AB/AC┄┄┄③;cos∠1=AD/AB,cos∠2=AD/AC,cos∠1/cos∠2=AC/AB┄┄┄④;将③式乘以④式得:(sin∠1cos∠1)/(sin∠2cos∠2)=1,sin2∠1=sin2∠2,则∠1=∠2或2∠1=π-2∠2,∠1+∠2=π/2;综上当△ABC不为等腰△,即∠B≠∠C时,∠BAC=90°。
S△AGE=(AE*AGsin∠1)/2=r1*(AE+AG)/2,S△AGF=(AF*AGsin∠2)/2=r2*(AF+AG)/2,以上两式相除得:(AEsin∠1)/(AFsin∠2)=[r1*(AE+AG)]/[r2*(AF+AG)],∵AE=AF,∴sin∠1/sin∠2=r1/r2┄┄┄①;S△ABD=r1(AB+BD+AD)/2=(AB*ADsin∠1)/2,S△ACD=r2(AC+DC+AD)/2=AC*ADsin∠2,以上两式相除得:[r1(AB+BD+AD)]/[r2(AC+DC+AD)]=ABsin∠1/ACsin∠2┄┄┄②;将①式代入②式得:[r1(AB+BD+AD)]/[r2(AC+DC+AD)]=ABr1/ACr2,
(AB+BD+AD)/(AC+DC+AD)=AB/AC,(BD+AD)/(DC+AD)=AB/AC,上式两边平方得:[BD²+AD²+2BD*AD]/[DC²+AD²+2AD*DC]=AB²/AC²,∵AB²=BD²+AD²,AC²=DC²+AD²,∴上式整理为:2BD*AD/2AD*DC=AB²/AC²,BD/DC=AB²/AC²,(BD/AB)/(DC/AC)=AB/AC,∵sin∠1=BD/AB,sin∠2=DC/AC,∴上式整理为:sin∠1/sin∠2=AB/AC┄┄┄③;cos∠1=AD/AB,cos∠2=AD/AC,cos∠1/cos∠2=AC/AB┄┄┄④;将③式乘以④式得:(sin∠1cos∠1)/(sin∠2cos∠2)=1,sin2∠1=sin2∠2,则∠1=∠2或2∠1=π-2∠2,∠1+∠2=π/2;综上当△ABC不为等腰△,即∠B≠∠C时,∠BAC=90°。
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请问你是高中生?
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怎么?要用解析几何我也不介意,但是那就没什么意思了。要用平几做出来还是感觉好点。
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很简单,从等边对等角来思考
追问
没那么简单吧。
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等下啊,我已经开始想啦
来自:求助得到的回答
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四边形ABCD中
由切点弦及同弦所对的圆周角
知△B3D2A∽△C3A2D
∴(B3A)/(DC3)=(D2A)/(DA2)=(AC2)/(DA2)
又∵(AC2)/(AE3)=(siC4∠AE3C2)/(siC4∠AC2E3)=(siC4∠DE3A2)/(siC4∠DA2E3)=(DA2)/(E3D)
由切点弦及同弦所对的圆周角
知△B3D2A∽△C3A2D
∴(B3A)/(DC3)=(D2A)/(DA2)=(AC2)/(DA2)
又∵(AC2)/(AE3)=(siC4∠AE3C2)/(siC4∠AC2E3)=(siC4∠DE3A2)/(siC4∠DA2E3)=(DA2)/(E3D)
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