Question

在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,D是AC上一点,AE⊥BD交BD的延长线于E,且AE=1/2BD,DG⊥AB于F.

求证：BD是角ABC角平分线
一定要是自己手打的，告诉我下思路。

Answer 1

证明:延长AE和BC,交于F.
∠AED=∠BCD=90度;∠ADE=∠BDC.则:∠EAD=∠CBD;
又∠ACF=∠BCP=90度,AC=BC,则⊿ACF≌ΔBCD(ASA),得AF=BD.
又AE=(1/2)BD,则AE=(1/2)AF,故AE=EF.
所以,BF=BA(线段垂直平分线的性质)
所以,BD是角ABC的平分线.(等腰三角形底边的高也是顶角的平分线)

Answer 2

做BD 的垂直平分线交BC于F，交BD于H。

△DAE≌△FHD≌△FHB
AD=DF=BF
所以CF=CD
△CDF是等腰RT△，△GDA也是等腰RT△，
且斜边相等
所以CD=DG
BD是角ABC角平分线

这种解法是比较简单的，你对照图像很容易看懂，希望能帮到你！

Answer 3

做BD 的垂直平分线交BC于F，交BD于H。

△DAE≌△FHD≌△FHB
AD=DF=BF
所以CF=CD
△CDF是等腰RT△，△GDA也是等腰RT△，
且斜边相等
所以CD=DG
BD是角ABC角平分线

Answer 4

证明:延长AE和BC,交于F.
∠AED=∠BCD=90度;∠ADE=∠BDC.则:∠EAD=∠CBD;
又∠ACF=∠BCP=90度,AC=BC,则⊿ACF≌ΔBCD(ASA),得AF=BD.
又AE=(1/2)BD,则AE=(1/2)AF,故AE=EF.
所以,BF=BA
所以,BD是角ABC的平分线