Question

【高分悬赏】初二的一道几何题，求解~~~~

如图,在四边形ABCD中，AD平行BC，对角线BD平分∠ABC，设∠BAD的平分线AE交BC于点E，如果F,G分别是AB,AD的中点
（1）求证：EF=EG
（2）当AB与EC满足怎样的数量关系时，EG平行CD?并说明理由。

PS:不能用平行四边形原理，要用初二学生所学过的知识解决！！！
PS:不能用平行四边形原理，要用初二学生所学过的知识解决！！！

Answer 1

（1）证明：∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠DBC
∵AD∥BC
∴∠ADB=∠DBC
∴∠ABD=∠ADB
∴AB=AD
∵F,G分别是AB,AD中点
∴AF=BF=AB/2，AG=DG=AD/2
∵AB=AD
∴AF=AG
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE=∠DAE
∵AE=AE，∠BAE=∠DAE，AF=AG
∴△AFE≌△AGE（SAS）
∴EF=EG
（2）当2CE=AB时，EG∥CD
∵AB=AD,∠BAE=∠DAE,AE=AE
∴△BAE≌DAE（SAS）
∴∠ABE=∠ADE，BE=DE
∵EG∥CD
∴∠ADE=∠CED
∴∠ABE=∠CED
∵AF=BF=AB/2，AG=DG=AD/2
∴BF=DG
∵EF=EG
∴△BFE≌△DCE（SSS）
∴∠FEB=∠GED
∵GE∥CD
∴∠GED=∠CDE
∴∠FEB=∠CDE
∵∠FEB=∠CDE，∠ABE=∠CED，BE=DE
∴△BEF≌△EDC（ASA）
∴BF=CE
∵BF=AB/2
∴CE=AB/2
∴2CE=AB
∴当2CE=AB时，EG∥CD

不用平行四边形原理的话，第二题证起来比较繁琐。用反证法，再得到三次全等，最后得到结论

Answer 2

解：不知道

Answer 3

1)证明:AD平行BC,则∠ADB=∠DBC;又∠ABD=∠DBC.
故∠ADB=∠ABD,AB=AD;
点F,G分别为AB,AD的中点,则AF=AG;
又∠FAE=∠GAE,AE=AE.则⊿FAE≌ΔGAE(SAS),得EF=EG.
2)解:若EG平行CD;又GD平行EC,则四边形GECD是平行四边形.
故GD=EC,则AB=AD=2GD=2EC,即当AB=2EC时,EG平行CD.
(注:本题通常适合倒着求解,若想证明则可:AB=2EC,则AD=2EC;
又AD=2GD,则GD=EC;又GD平行EC,故四边形GECD为平行四边形,得CE平行EG.)

Answer 4

（1）证明：因为 BD平分∠ABC，则 ∠ABD ＝∠CBD
　　　又因为AD∥BC，则∠CBD ＝∠BDA，所以∠ABD ＝∠BDA
　　　△ABD是等腰△，于是有：AB＝AD，而F,G分别是AB,AD的中点
　　　则AF＝AG， 又AE是∠BAD的平分线，则∠FAE＝∠GAE，而AE＝AE
　　　因此△AFE≌ △AGE，所以EF=EG
（2）若要EG∥CD，则CE必须＝DG＝AD/2＝AB/2
　　　因此，当AB＝2EC时， EG∥CD
　　　证明：因为AD∥BC，则∠GDE ＝∠DEC，而ED＝ED
　　　由假设， AB＝2EC，可推出CE＝DG
　　　因此△EGD≌ △DCE，所以∠EDC ＝∠DEG，则EG∥CD