Question

高中数列 已知数列｛an｝的首项a1=1 前n项和为Sn 且S（n+1）=2Sn+3n+1

已知数列｛an｝的首项a1=1 前n项和为Sn 且S（n+1）=2Sn+3n+1

1），设bn=an+3 求数列｛bn｝的通项公式
2），在（1）的条件下，设cn=log2（bn），若存在常数k，使不等式k>=（cn-1）/[(n+25）*cn]恒成立，求k 的最小值

Answer 1

S（n+1）=2Sn+3n+1
则S（n+1）－Sn=Sn+3n+1
即a(n+1)=Sn+3n+1
所以Sn=a(n+1)-3n-1
所以S(n-1)=an-3(n-1)-1
用上式减下式：Sn-S(n-1)=a(n+1)-an-3
即为an=a(n+1)-an-3
所以a(n+1)=2an+3
所以a(n+1)+3=2(an+3)
即b(n+1)=2bn
所以bn=2b(n-1)=2^2b(n-2)=......=2^(n-1)b1=4*2^(n-1)=2^(n+1)

cn=log2[2^(n+1)]=n+1
（cn-1）/[(n+25）*cn]=n/(n^2+26n+25)
=1/(n+26+25/n)
又n+25/n>=2√(n*25/n)=2*5=10
所以1/(n+26+25/n)最大值为1/36
所以k(min)=1/36