Question

设f(x)=x2+px+q,A={x|x=f(x)},B={x|f[f(x)]=x},若A为单元集，求证：A=B

Answer 1

A=｛x|x=f(x)｝
x=x^2+bx+c
x^2+(b-1)x+c=0
若A为只含一个元素集合
则
[(b-1)/2]^2=c
B={x|x=f(f(x))}
x=f^2(x)+bf(x)+c
因为x=f(x)
故上式可化简为
x=x^2+bx+c
可以看出和A集合的表达式一样，因此A＝B

追问

这与 A为单元集没神马关系啊，求详细

Answer 2

解法一：
设A={t}，为单元素集合，则二次方程应满足f(x)-x=(x-t)²=0
（只有唯一解，故该二次方程可变换为完全平方）,
变换上述等式，有f(x)=(x-t)²+x
对集合B中的元素x，满足f[f(x)]=x，代入上式，有：
x=[f(x)-t]²+f(x)
=[(x-t)²+x-t]²+(x-t)²+x

即：
[(x-t)²+(x-t)]²+(x-t)²=0 (*)
而
[(x-t)²+(x-t)]²>=0
(x-t)²>=0
所以方程(*)只有x=t一个解
即B={t}=A

解法二：
设A={t}，为单元素集合

故二次方程f(x)=x只有一个根，令y=f(x)-x=(x-t)²≥0(当且仅当x=t时等号成立)
则对于f(f(x))-x=[f(f(x))-f(x)]+[f(x)-x]≥0(同样，当且仅当x=t时等号成立)
故在已知A={t}，为单元素集合的条件下，f(f(x))=x只有一个解t，即B=A