当x等于α、β、1时,代数式ax^2+bx+c的取值分别为α、β、4,且α、β为x^2-x-1=0的根，求a、b、c
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解：∵x等于α、β、1时,代数式ax^2+bx+c的取值分别为α、β、4
∴aα²＋bα＋c＝α①
aβ²＋bβ＋c＝β②
a＋b＋c＝4③
①-②得：a﹙α²－β²﹚＋b﹙α－β﹚＝α－β
∵α≠β
∴a﹙α＋β﹚＋b＝1⑤
①＋②得：a﹙α²＋β²﹚＋b﹙α＋β﹚＋2c＝α＋β⑥
∵ α、β为x^2-x-1=0的根
∴α＋β＝1, αβ＝﹣1
把α＋β＝1, αβ＝﹣1代入⑤⑥得:
a＋b＝1
3a＋b＋2c＝1
又∵a＋b＋c＝4
∴a＝﹣3,b＝4,c＝3
∴aα²＋bα＋c＝α①
aβ²＋bβ＋c＝β②
a＋b＋c＝4③
①-②得：a﹙α²－β²﹚＋b﹙α－β﹚＝α－β
∵α≠β
∴a﹙α＋β﹚＋b＝1⑤
①＋②得：a﹙α²＋β²﹚＋b﹙α＋β﹚＋2c＝α＋β⑥
∵ α、β为x^2-x-1=0的根
∴α＋β＝1, αβ＝﹣1
把α＋β＝1, αβ＝﹣1代入⑤⑥得:
a＋b＝1
3a＋b＋2c＝1
又∵a＋b＋c＝4
∴a＝﹣3,b＝4,c＝3
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