Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f（2）=0，且方程f（x）=,x有等根．

（1）求f（x）的解析式
（2）是否存在实数m、n（m<n),使f（x）的定义域和值域分别为[m,n]和[2m,2n]?如果存在，求出m和n的值，如果不存在，说明理由。

Answer 1

解：
(1) f(2)=0,得4a+2b=0,
即2a+b=0
由f(x)=x有相等根得，
方程ax²+bx-x=0的判别式△=0
即(b-1)²=0，
b=1.
即得a=-1/2.
则二次函数的解析式为
f(x)=-0.5x²+x.

(2) 假设存在这样的定义域和值域，
则有-0.5m²+m=2m,
解得m=-2或m=0,
同理解得n=-2或n=0,
由m<n得，
m=-2,n=0.
证明：将m=-2代入二次函数解析式解得f(x)=-4=2m，成立，
将n=0代入二次函数解析式解得f(x)=0=2n,成立，
则由以上得存在实数m、n（m<n),使f（x）的定义域和值域分别为[m,n]和[2m,2n]。

解题思路：
解关于存在与否的问题时，可先假设存在，然后代入进行求解，
只要求出其中一个解满足条件即可，关于本题可能还存在其它的m、n的值满足题设要求，
但我们只需要求出其中一个值即可。

Answer 2

且方程f（x）=,x有等根．？？？？
试题不清！