Question

急，关于勾股定理的3道数学题

1.如图1所示，Rt△ABC的面积为20平方厘米，在AB的同侧，分别以AB,BC,CA为直径做三个半圆，求阴影部分的面积。
2.已知Rt△ABC中，∠ACB=90度，CA=CB，有一个圆心角为45度，半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE,CF与直线AB分别交于点M,N。
（1)当扇形CEF绕点C在∠ACB内部旋转时，如图2所示，求证MN的平方=AM的平方+BN的平方
(2)当扇形CEF绕点C旋转至如图3所示的位置时，关系式MN的平方=AM的平方+BN的平方是否仍然成立？若成立，请给出说明。若不成立，请说明理由。

我会根据答对题数，给予一题加10分，请老师们多多费心了
要过程和思路的...

Answer 1

1.如图1所示，Rt△ABC的面积为20平方厘米，在AB的同侧，分别以AB,BC,CA为直径做三个半圆，求阴影部分的面积。
解：
S(阴影)=1/2*π*(1/2AC)^2+1/2*π(1/2BC)^2+S(三角形ABC)-1/2*π*(1/2AB)^2
=1/8*π*(AC^2+BC^2-AB^2)+S(三角形ABC)
而AC^2+BC^2=AB^2,
所以S(阴影)=S(三角形ABC)=20

2.已知Rt△ABC中，∠ACB=90度，CA=CB，有一个圆心角为45度，半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE,CF与直线AB分别交于点M,N。
（1)当扇形CEF绕点C在∠ACB内部旋转时，如图2所示，求证MN的平方=AM的平方+BN的平方
(2)当扇形CEF绕点C旋转至如图3所示的位置时，关系式MN的平方=AM的平方+BN的平方是否仍然成立？若成立，请给出说明。若不成立，请说明理由。
解：
CEF绕C点旋转，E，F在斜边AB上，
线段AE，EF，FB总可以构成直角三角形。
证明：将△CAE绕C逆时针旋转90°，
A点和B点重合，E点到P，连PF，△CAE≌△CBP。
∴BP=AE，
又CP=CE，∠ECF=∠PCF=45°，CF是公共边，
∴△CEF≌△CPF，（S，A，S）
∴EF=PF，
∵∠PBF=45°+45°=90°，
∴线段AE，EF，FB构成直角三角形。
证毕。

Answer 2

1.S阴影＝S△ABC+1／2×π×﹙AC／2﹚²+1／2×π×﹙BC／2﹚²－1／2×π×﹙AB／2﹚²
＝20＋π／8×AC²＋π／8×BC²－π／8×AB²
＝20＋π／8×﹙AC²＋BC²－AB²﹚
∵在Rt△ABC中，AC²＋BC²＝AB² 即AC²＋BC²－AB² ＝0
∴S阴影＝20＋π／8×0＝20平方厘米

Answer 3

1，20平方厘米,

Answer 4

书上都有

Answer 5

阴影＝S△ABC+1／2×π×﹙AC／2﹚²+1／2×π×﹙BC／2﹚²－1／2×π×﹙AB／2﹚²
＝20＋π／8×AC²＋π／8×BC²－π／8×AB²
＝20＋π／8×﹙AC²＋BC²－AB²﹚

Answer 6

1、∵AC²+BC²=AB²
∴以AC为直径的半圆+以BC为直径的半圆=以AB为直径的半圆
∴S△ABC=以AB为直径的半圆-AC弧-BC弧=以AC为直径的半圆+以BC为直径的半圆-AC弧-BC弧
=月牙AC+月牙BC（即阴影部分）=20CM²

Answer 7

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