Question

一道集合数学应用题（详细过程讲解）谢谢！

50名学生报名参加A,B两项课外学科小组，报名参加A组的人数是全体学生数的五分之三，报名参加B组的人数是比报名参加A组的人数多3人，两组都没有报名的人数比同时报名参加两组的人数的三分之一多1，求同时报名参加A,B两组人数和两组都没有报名的人数

Answer 1

集合里面有个容斥原理，现在讲一下只有两个集合的容斥原理：A∩B=A+B-A∪B，（这里的A，B都表示元素个数）。现在设参加A、B组的人分别为集合A、B，那么A∩B表示两组同时报名的人数，A∪B表示所有报了名的人数。那么A=50*3/5=30，B=A+3=33，设同时报名参加两组的人数为x，即A∩B=x，则两组都没有报名的人数为（x/3+1），则A∪B=50-（x/3+1）=49-x/3，下面根据前面说到的容斥原理列出方程：x=30+33-(49-x/3)，解得x=21。也就是同时报名参加两组的人数为21，两组都没有报名的人数为8。别看我写了很长，如果你知道最上面的那个关系，直接就可以列出方程求解。另外还可以通过画“文氏图”，可以很快地帮助你理解，如果这也不会，那就要好好补补课了。提示一下，对于这种只有两组A、B的简单的问题用容斥原理有些大材小用，但是遇上类似的复杂的问题，如三组A、B、C乃至更多，这个原理可以很快地帮你解决。有兴趣可以了解一下更广义的容斥原理。

Answer 2

设同时参加A、B的x人，A组有30人，B组有33人，则A组和B组共有63-x人，两组都没报的有x/3+1人，故63-x+x/3+1=50，解得x＝21，代入得各组人数