Question

已知函数f(x)=ax^2-1的图像在点(1,f(1))处的切线L与直线8x-y+2=0平行，若数列{1/f(n)}的前n项和为Sn，则

已知函数f(x)=ax^2-1的图像在点(1,f(1))处的切线L与直线8x-y+2=0平行，若数列{1/f(n)}的前n项和为Sn，则S2010的值为

Answer 1

由题目意思知
f'(x)=2ax
f'(1)=2a=切线的斜率=直线8x-y+2=0的斜率=8
所以
a=4
从而
f(x)=4x^2-1
f(n)=4n^2-1
{1/4n^2-1}={1/(2n-1)(2n+1)}
Sn=1/1*3+1/3*5+....+1/(2n-1)(2n+1)
=1/2*[1-1/3+1/3-1/5+.....+1/(2n-1)-1/(2n+1)]
=1/2*[1-1/(2n+1)]
=n/(2n+1)
所以
S2010=2010/（2010*2+1）=2010/4021