Question

已知数列{An}中，A1=0，An+1=1/2-An，n∈N*

1、求证：{1/An-1}是等差数列；并求{An}的通项公式
2、设Bn=An.(9/10)^n，n∈N*，试证明：对于任意的正整数m、n，都有|Bn-Bm|<1/2

Answer 1

1.
A(n+1)=1/2-An
A(n+1)-1/4=1/2-An-1/4=-An+1/4=-(An-1/4)
[A(n+1)-1/4]/(An-1/4)=-1
An-1/4=(A1-1/4)(-1)^(n-1)=(-1/4)(-1)^(n-1)
An=1/4-(1/4)(-1)^(n-1)
??

A(n+1)=1/(2-An)
1/A(n+1)=2-An
1/A(n+1) -1=2-An-1=1-An
[1-A(n+1)]/A(n+1) =1-An
A(n+1)/[1-A(n+1)]=1/(1-An)
1/(1-An)=[A(n+1)-1+1]/[1-A(n+1)]
=-1+1/[1-A(n+1)]
1/[1-A(n+1)]-1/(1-An)=1
所以1/(1-An)是首项为1/(1-A1)=1，公差为1的等差数列；

1/(1-An)=1+(n-1)=n
1-An=1/n
An=1-1/n.

2.
不妨设1≤n≤m
Bn=An(9/10)^n
=(1-1/n)(9/10)^n
Bn-B(n-1)=(1-1/n)(9/10)^n-[1-1/(n-1)](9/10)^(n-1)
={(1-1/n)(9/10)-[1-1/(n-1)]}(9/10)^(n-1)
={(-n^2+2n+9)/[10n(n-1)]}(9/10)^(n-1)
讨论(-n^2+2n+9)的正负：
当n≥5时(-n^2+2n+9)＜0，Bn-B(n-1)＜0，Bn单调递减，
Bn≤B5=(1-1/5)(9/10)^5=(4/5)(9/10)^5
Bn=(1-1/n)(9/10)^n＞0
所以0＜Bn≤B5；

当1≤n≤4时(-n^2+2n+9)＞0，Bn-B(n-1)＞0，Bn单调递增。
0=B1≤Bn≤B4=(1-1/4)(9/10)^4=(3/4)(9/10)^4=(5/6)(9/10)^5

又因(4/5)(9/10)^5＜(5/6)(9/10)^5
所以0≤Bn≤B4
所以0≤|Bn-Bm|≤B4-0=B4
B4=(3/4)(9/10)^4=(3/4)(1-1/10)^4＜(3/4)(1-4/10)=9/20＜1/2
所以|Bn-Bm|≤B4＜1/2

Answer 2

一楼把题目搞错了吧