Question

若不等式ax^2+bx+c>0的解集为（α，β）求不等式cx^2+bx+a<0的解集

Answer 1

参考我原来解答的题目
ax^2+bx+c>0解集是{x/α<x<β<0}，求cx^2+bx+a>0的解集

把α，β 看成方程ax^2+bx+c=0两根
由韦达定理 α+β=-b/a α*β=c/a
因为α<x<β<0 所以b/a>0 c/a>0
所以a,b,c同号 由题目形式判断a<0 所以 b,c都小于0
因为α+β=-b/a α*β=c/a 两式相除 得 -b/c=α*β /(α+β ) =1/α+1/β
cx^2+bx+a>0 两根之和=-b/c 两根之积=a/c
cx^2+bx+a>0 解集为{xI 1/β<x<1/α }

追问

得到两根之和=-b/c 两根之积=a/c 之后怎么得到的解集？
如果是这个题http://zhidao.baidu.com/question/177980772.html
我想知道 又a<0，0<1/β<1/α,求得解集为1/β<X<1/α
这一步是为什么？

追答

又a<0，0<1/β<1/α,求得解集为1/β<X<1/α
二次项系数为正 且不等号为小于号 它的取值范围在两根之间（大小小大中间找）
同理，若二次项系数为正 且不等号为大于号 取值范围取两根之外
你的原题目中 缺少一个条件 要讨论的
解释，因为α<x<β<0 所以1/β<x<1/α,

追问

又a<0，0<1/β<1/α,求得解集为1/β<X<1/α
我想问的是为什么x要在1/β和1/α之间？

Answer 2

解集为（α，β）故方程ax^2+bx+c=0的根是α，β
故α+β=-b/a
αβ=c/a
故cx^2+bx+a=0的两根x1,x2之
x1+x2=-b/c
x1x2=a/c
解之：x1=1/α, x2=1/β
由于不等式ax^2+bx+c>0的解集为（α，β），有限的范围，故a<0
感觉少了个条件啊

追问

我已经做到这一步了，接下来呢？只是因为少了个条件么？

追答

是，否则只能分情况讨论，
α，β取倒数后，大小不能确定，c值正负不知，开口方向不知

追问

http://zhidao.baidu.com/question/177980772.html
我想知道 又a<0，0<1/β<1/α,求得解集为1/β<X<1/α
这一步是为什么？

追答

显然两根都是正的，
故两根之积=a/c>0是正的，而a>0,
故c>0,故开口向上，找
cx^2+bx+a<0的，故解集为1/β<X<1/α
还有何疑问？

Answer 3

两边同除x^2，得到a(1/x^2)+b(1/x)+c＜0，由第一个式子可得a<0，可得1/x<阿尔法 或 1/x>贝塔，最后再根据（阿尔法）和（贝塔）的范围解得x