Question

高中数学题…………………… （m+n)(m-n) 当m,n的奇偶性相同时，为什么式子（m+n)(m-n)是4的倍数？

So I have an another question:
已知集合A=｛x|x=m²-n²，m∈Z,n∈Z｝，求证：
任何形如4k-2(k∈N*)的偶数都不是A的元素
证明：任取偶数4k-2，若偶数4k-2∈A，则存在m∈Z,n∈Z使 4k-2=m²-n²=（m+n)(m-n)
我想问 当m,n的奇偶性相同时，（m+n)(m-n)是4的倍数，那也是2的倍数
4k-2也是2的倍数，那式子的左边和右边岂不相等？
任何形如4k-2(k∈N*)的偶数都不是A的元素的结论就是错的了？

我已经无语了……

Answer 1

因为，(m+n)(m-n)=m*m-n*n。
当m n均为偶数时，m*m和n*n均为4的倍数，所以，两个4的倍数相减，还是4的倍数。
当m n均为奇数时，m*m和n*n除以4余1。所以，两个除以4余1的数相减，余数抵消，还是4的倍数。
所以当m、n奇偶性相同时，式子(m+n)(m-n)是4的倍数。

看在我写了这么多的份上，你就选我吧。

Answer 2

若m,n的奇偶性相同，那么（m+n)和(m-n) 必定都是偶数，所以（m+n)(m-n) 是4的倍数。

追问

如果是4的倍数，那也是2的倍数吧

追答

当然。

追问

So I have an another question:
已知集合A=｛x|x=m²-n²，m∈Z,n∈Z｝，求证：
任何形如4k-2(k∈N*)的偶数都不是A的元素
证明：任取偶数4k-2，若偶数4k-2∈A，则存在m∈Z,n∈Z使 4k-2=m²-n²=（m+n)(m-n)
我想问 当m,n的奇偶性相同时，像你所说（m+n)(m-n)是2的倍数，
4k-2也是2的倍数，那式子的左边和右边岂不相等？
任何形如4k-2(k∈N*)的偶数都不是A的元素就是错的了？

追答

你错了，4k-2是2的倍数，且（m+n)(m-n)也是2的倍数不假，但这并不矛盾呀。要知道偶数分两种，一种是能被4整除，一种是不能被整除，这两种是没有交集的，4k-2属于第一种，（m+n)(m-n)属于第二种，因此无论怎样，它们都不会相等的。

Answer 3

显然成立。

当二者皆为偶数时候，m=2x, n=2y.这里x,y皆为整数
所以（m+n)(m-n)=（2x+2y）(2x-2y)
=4(x+y)(x-y)
显然为4的倍数

当二者皆为奇数时候，记m=2x+1, n=2y+1
所以（m+n)(m-n)=（2x+2y+2）(2x-2y)
=4(x+y+1)(x-y)
同样为4的倍数

追问

So I have an another question:
已知集合A=｛x|x=m²-n²，m∈Z,n∈Z｝，求证：
任何形如4k-2(k∈N*)的偶数都不是A的元素
证明：任取偶数4k-2，若偶数4k-2∈A，则存在m∈Z,n∈Z使 4k-2=m²-n²=（m+n)(m-n)
我想问 当m,n的奇偶性相同时，像你所说（m+n)(m-n)是4的倍数，那也是2的倍数
4k-2也是2的倍数，那式子的左边和右边岂不相等？
任何形如4k-2(k∈N*)的偶数都不是A的元素就是错的了？

Answer 4

当m,n的奇偶性相同时，（m+n)，(m-n)均为偶数
可设（m+n)=2a，(m-n)=2b （a，b为整数）
（m+n)(m-n)=4ab ab为整数
所以（m+n)(m-n)是4的倍数

Answer 5

m,n的奇偶性相同时，两数的和或差都是2的倍数，乘积就是4的倍数了

追问

乘积既然是4的倍数，为什么不会是2的倍数？